Udowodnienie sekwencji zmniejsza się (obsługiwane przez wykreślenie dużej liczby punktów)

Wiele pytań, które opublikowałem na SE w ostatnim miesiącu, miało na celu pomóc mi rozwiązać ten konkretny problem. Na wszystkie pytania udzielono odpowiedzi, ale wciąż nie mogę znaleźć rozwiązania. Pomyślałem więc, że powinienem po prostu zapytać o problem, który próbuję rozwiązać bezpośrednio.

Niech , gdzie , , (liczba całkowita), a każdy jest cdf ponad . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

Chcę udowodnić, że zmniejsza się z dla wszystkich (lub nawet dla dowolnego konkretnego )! Mogę pokazać, że zbieżny do masy Diraca w unikalnym rozwiązaniu dla Dla , . Patrząc na wykres cdfs dla zwiększenia dla tego samego , wszystkie cdfs krzyżują się na . Wartość zmniejsza się dla wartości mniejszej niż i wzrasta dla wartości większej niż $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ (w miarę wzrostu ) zbieganie się do linii pionowej w punkcie . $n$ $x_n$

Poniżej znajduje się wykres dla do dla do . Jest to oczywiście dyskretna fabuła, ale linie zostały połączone dla ułatwienia oglądania. Aby wygenerować ten wykres, użyłem NIntegrate w Mathematica, chociaż musiałem to zrobić na , ponieważ z jakiegoś powodu Mathematica nie mogła wygenerować odpowiedzi na wysokie wartości dla pierwotnej funkcji. Oba powinny być równoważne, zgodnie z twierdzeniem Younga, . W moim przypadku , . $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Jak widać porusza się bardzo szybko do minuty odległości od swojego stałego punktu . Wraz ze wzrostem , punkt stały maleje (ostatecznie przejdzie do 0). $EX_n$ $x_c$ $c$

Z pewnością więc wydaje się prawdą, że zmniejsza się z dla wszystkich . Ale nie mogę tego udowodnić. Czy ktoś może mi pomóc? (ponownie, byłbym nieco zadowolony z choćby jednego ). A jeśli nie możesz, ale masz wgląd w to, dlaczego ten konkretny problem może być nierozwiązywalny, podziel się również tym spostrzeżeniem. $EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
źródło

Czy zastanawiałeś się nad przepisaniem, aby

Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$ ? Indukcyjny dowód lub sprzeczność mogą być łatwo dostępne.

— Iterator

@Iterator: Próbowałem (dużo), ale nie udało mi się.

— OctaviaQ

Tak. +1 i usunąłem mój poprzedni komentarz.

— finnw

@Jand: Na razie niestety będę musiał wycofać swoje roszczenie dowodowe. Znalazłem dziurę, którą muszę jeszcze załatać. Przeprosiny. Powinienem był bardziej uważać, zanim coś opublikowałem. Sprawdziłem to kilka razy, ale nie znalazłem problemu, dopóki nie przeszedłem go ostatni raz.

— kardynał

@Jand: Masz bardzo podobne (ale nieco inne) pytanie dotyczące matematyki.SE . Czy możesz wyjaśnić, czy faktycznie interesuje Cię jedno lub drugie i dlaczego?

— kardynał

Odpowiedzi na to pytanie udzielił Pietro Majer tutaj .

— OctaviaQ
źródło