Czy odrzucenie hipotezy przy użyciu wartości p jest równoważne hipotezie nienależącej do przedziału ufności?

Podczas formalnego wyprowadzania przedziału ufności oszacowania, otrzymałem formułę, która bardzo przypomina sposób obliczania wartości . $p$

Zatem pytanie: czy są one formalnie równoważne? Tj. Odrzuca hipotezy o wartości krytycznej równoważnej nie należącej do przedziału ufności o wartości krytycznej ? $H_0 = 0$ $\alpha$ $0$ $\alpha$

hypothesis-testing confidence-interval p-value

— Jorge Leitao
źródło

@f coppens: tak, jeśli używane są dwa testy z różnymi statystykami, uzyskuje się dwa różne przedziały ufności. Myślę jednak, że OP odkrył podstawowy fakt: zarówno przedział ufności, jak i wartość p są uzyskiwane z rozkładu tej samej statystyki, więc oba z nich można wykorzystać do podjęcia decyzji o odrzuceniu hipotezy zerowej lub nie.

— StijnDeVuyst

@StijnDeVuyst: Interwał Clopper / Pearon dla proporcji i interwał Sterne dla proporcji pochodzą z rozkładu dwumianowego o tym samym rozmiarze (p nie jest znane, ponieważ znajdują przedział ufności dla p). Różnica między Clopper / Pearson a Sterne wynika z asymetrii gęstości dwumianowej. Interwał Sterne próbuje zminimalizować szerokość interwału, a Clopper_pearson próbuje zachować symetrię (ale ze względu na skośność dwumianu można to znaleźć tylko w przybliżeniu).

Nie ogólnie nie. Rozważ przypadki, w których szerokość przedziału jest funkcją szacowanej wartości parametru, podczas gdy w teście szerokość przedziału jest funkcją hipotetycznej. Oczywistym przykładem może być test dwumianowy p. Użyjmy normalnego ok. dla uproszczenia (choć forma argumentacji na nim nie polega). Rozważmy n = 10 i zerową wartość p = 0,5. Wyobraź sobie, że obserwujesz 2 głowy; wartość null nie jest odrzucana (ponieważ „2” znajduje się w 95% przedziale około 0,5), ale CI dla p nie obejmuje 0,5 (ponieważ CI jest węższy niż szerokość interwału pod null.

— Glen_b -Reinstate Monica

Lub jeśli potrzebujesz, aby był wystarczająco duży, aby normalne ok było dobre, spróbuj 469 głowic w 1000 rzutach, dla H0 p = 0,5; ponownie 95% CI dla p nie obejmuje 0,5, ale test 5% nie odrzuca, ponieważ odpowiadająca szerokość przedziału pod H0 jest szersza niż pod alternatywą (z czego robisz CI).

— Glen_b

@Glen_b: Wygląda na to, że to nowsze pytanie stats.stackexchange.com/questions/173005 stanowi przykład dokładnie opisanej tutaj sytuacji.

— ameba mówi Przywróć Monikę

Odpowiedzi:

Tak i nie.

Najpierw „tak”

$p$ $\alpha$ $1-\alpha$

$\theta$ $\Theta\subseteq\mathbb{R}$ $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal{X}^ n\subseteq\mathbb{R}^n$ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ $I_\alpha(\mathbf{X})$

P_{θ} (θ \in I_{α} (X)) = 1 - α for all α \in (0, 1) .

$P_\theta(\theta\in I_\alpha(\mathbf{X}))= 1-\alpha\qquad\mbox{for all }\alpha\in(0,1).$

1 - α

$1-\alpha$

$H_0(\theta_0): \theta=\theta_0$ $H_1(\theta_0): \theta\neq \theta_0$ $\lambda(\theta_0,\mathbf{x})$ $\alpha\in(0,1)$ $H_0(\theta_0)$ $\alpha$ $\lambda(\theta_0,x)\leq\alpha$ $\alpha$ $\mathbf{x}$ $H_0(\theta_0)$

R_{α} (θ_{0}) = {x \in R^{n} : λ (θ_{0}, x) \leq α} .

$R_\alpha(\theta_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \lambda(\theta_0,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$

$\lambda(\theta,\mathbf{x})$ $\theta\in\Theta$

Q_{α} (x) = {θ \in Θ : λ (θ, x) \leq α} .

$Q_\alpha(\mathbf{x})=\{\theta\in\Theta: \lambda(\theta,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$

$\theta_0$ $H_0(\theta_0)$ $\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0)$ $\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x})$

x \in R_{α} (θ_{0}) \Leftrightarrow θ_{0} \in Q_{α} (x) .

$\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0) \Leftrightarrow \theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x}).$

λ (θ_{0}, X) \sim U (0, 1)

$\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\sim \mbox{U}(0,1)$

H_{0} (θ_{0})

$H_0(\theta_0)$

P_{θ_{0}} (X \in R_{α} (θ_{0})) = P_{θ_{0}} (λ (θ_{0}, X) \leq α) = α .

$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\leq\alpha)=\alpha.$

θ_{0} \in Θ

$\theta_0\in\Theta$

P_{θ_{0}} (X \in R_{α} (θ_{0})) = P_{θ_{0}} (θ_{0} \in Q_{α} (X)),

$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{X})),$

Q_{α} (x)

$Q_\alpha(\mathbf{x})$

θ_{0}

$\theta_0$

α

$\alpha$

Q_{α}^{C} (x)

$Q_\alpha^C(\mathbf{x})$

Q_{α} (x)

$Q_\alpha(\mathbf{x})$

θ_{0} \in Θ

$\theta_0\in\Theta$

P_{θ_{0}} (θ_{0} \in Q_{α}^{C} (X)) = 1 - α,

$P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha^C(\mathbf{X}))=1-\alpha,$

1 - α

$1-\alpha$

θ

$\theta$

$z$ $\theta$ $\bar{x}$ $\sigma=1$ $H_0(\theta)$ $(\bar{x},\theta)$ $R_{0.05}(-0.9)=(-\infty,-1.52)\cup(-0.281,\infty)$ $I_{0.05}(1/2)=Q_{0.05}^C(1/2)=(-0.120,1.120)$

(Wiele z tego pochodzi z mojej pracy doktorskiej .)

Teraz „nie”

$\theta$ $X$

Zjawisko to dotyczy problemów związanych z brakiem zagnieżdżania się takich przedziałów, co oznacza, że przedział 94% może być krótszy niż przedział 95%. Więcej informacji na ten temat znajduje się w sekcji 2.5 mojego ostatniego artykułu (do pojawienia się w Bernoulli).

I drugie „nie”

$\theta_0=0$

A czasami „tak” nie jest dobrą rzeczą

Jak zauważył w komentarzu f coppens , czasami interwały i testy mają nieco sprzeczne cele. Chcemy krótkich interwałów i testów o dużej mocy, ale najkrótszy interwał nie zawsze odpowiada testowi o największej mocy. Aby zapoznać się z niektórymi przykładami tego, zobacz ten artykuł (wielowymiarowy rozkład normalny) lub ten (rozkład wykładniczy) lub rozdział 4 mojej pracy magisterskiej .

Bayesianie mogą również powiedzieć „tak” i „nie”

Kilka lat temu zamieściłem tutaj pytanie, czy równoważność interwału testowego istnieje również w statystykach bayesowskich. Krótka odpowiedź jest taka, że przy użyciu standardowych testów hipotezy bayesowskiej odpowiedź brzmi „nie”. Jednak po przeformułowaniu problemu związanego z testowaniem odpowiedź może brzmieć „tak”. (Moje próby odpowiedzi na moje pytanie ostatecznie przerodziły się w artykuł !)

— MånsT
źródło

Dobra odpowiedź (+1) i (częściowo to robisz) warto wskazać, że czasami przedziały ufności i testy hipotez mają (potencjalnie) sprzeczne cele: próbuje się znaleźć przedział ufności „tak mały, jak to możliwe”, podczas gdy do testowania hipotez próbuje się znaleźć region krytyczny „tak silny, jak to możliwe”.

@fcoppens: Dzięki za sugestię! Zaktualizowałem swoją odpowiedź kilkoma wierszami na ten temat.

— MånsT

Tysiąc pracy! Czy pracowałeś również na interwałach Sterne?

@fcoppens: Tak, zrobiłem trochę pracy w odstępie Sterne, głównie w tym artykule

— MånsT

T_{1} = (\hat{p} - p) / \sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) / n}

$T_1=(\hat{p}-p)/\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$

T_{2} = (\hat{p} - p) / \sqrt{p (1 - p) / n}

$T_2=(\hat{p}-p)/\sqrt{p(1-p)/n}$

$\alpha$ $\leq \alpha$

— Björn
źródło