Dlaczego tak się nazywa zmienna losowa „ujemna dwumianowa”?

21

Nie rozumiem, dlaczego zmienna losowa „ujemny dwumianowy” ma taką nazwę. Co jest w tym negatywnego? Co jest w tym dwumianowe? Co to jest w tym przypadku dwumian ujemny?

— Hatszepsut
źródło

2

Zobacz także komentarze pod tym bardziej ogólnym pytaniem - które naprawdę zasługuje na właściwą odpowiedź, mea culpa .

— Glen_b

24

Jest to odniesienie do faktu, że pewien współczynnik dwumianowy, który pojawia się we wzorze dla tego rozkładu, można napisać prościej za pomocą liczb ujemnych.

Gdy przeprowadzasz serię eksperymentu z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ , prawdopodobieństwo, że zobaczysz $r$ awarii po dokładnie $k$ próbach, wynosi

. ${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

Można to również zapisać jako

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

a słowo „negatywne” odnosi się do tego tym współczynniku dwumianowym. Zauważ, jak ta formuła wygląda tak samo jak formuła dla zwykłego rozkładu dwumianowego, z wyjątkiem tego współczynnika znaku. $−r$

Inną nazwą ujemnego rozkładu dwumianowego jest rozkład Pascala, więc i on też istnieje.

================================================== =======================

Bardziej szczegółowa odpowiedź według Wikipedii:

Funkcja masy prawdopodobieństwa ujemnego rozkładu dwumianowego wynosi

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Tutaj ilość w nawiasach jest dwumianowym współczynnikiem i jest równa

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$

Tę ilość można alternatywnie zapisać w następujący sposób, wyjaśniając nazwę „dwumian ujemny”:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$

3

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

-4

Mieszkańcy StatsExchange Po pierwsze, dobra wiadomość, ten autor kopiuje formułę Wikipedii, więc wszystko jest w porządku. Opis napisany przez tego autora był niepoprawny. Powinien był zapisać prawdopodobieństwo wystąpienia awarii po śladach k + r.
Zauważ, że w pierwszych próbach k + r-1 występują dokładnie awarie r-1 i k sukcesów. Stąd wzór poprawnie obejmuje (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Zatem z definicji ostateczna próba, a mianowicie próba k + r, musi być r. Niepowodzeniem. To wydarzenie jest niezależne, więc po prostu mnożymy jego prawdopodobieństwo 1-p, aby znaleźć podane prawdopodobieństwo.

— Shawn Berry
źródło

Witamy w Stats.SE. Skorzystaj z okazji, aby wybrać się na wycieczkę ( stats.stackexchange.com/tour ), jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś. Zobacz także kilka wskazówek dotyczących formatowania pomocy i zapisywania równań za pomocą LaTeX / MathJax .

— Ertxiem