Jeffreys Prior dla rozkładu normalnego z nieznaną średnią i wariancją

Czytam wcześniejsze rozkłady i wcześniej obliczyłem Jeffreysa dla próbki normalnie rozmieszczonych zmiennych losowych o nieznanej średniej i nieznanej wariancji. Zgodnie z moimi obliczeniami, dla Jeffreysa przedtem obowiązuje: Tutaj matrycą informacji Fishera.

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

Przeczytałem jednak również publikacje i dokumenty, które je stwierdzają

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ patrz sekcja 2.2 w Kass i Wassermann (1996) .
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ patrz strona 25 w Yang i Berger (1998)

jak wcześniej Jeffreys w przypadku rozkładu normalnego z nieznaną średnią i wariancją. Co to jest „faktyczny” Jeffreys?

— Nussig
źródło

Odpowiedzi:

Myślę, że ta rozbieżność jest wyjaśniona przez to, czy autorzy uważają gęstość ponad czy gęstość ponad . Obsługując tę interpretację, dokładną rzeczą, którą piszą Kass i Wassermann, jest podczas gdy Yang i Berger piszą $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A. Donda
źródło

Dzięki, przeoczyłem to. Jednak nadal nie tłumaczy to rozbieżności między i .

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig,

W rzeczywistości posiadanie przed jest tym samym, co posiadanie przed , ponieważ właściwość reparametrization Jeffreys przed: z jakobianską macierzą , tj. .

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig,

@Nussig, sprawdziłem obliczenia i myślę, że masz rację, przybywając do . Masz również rację, że reparametryzacja wynosi tylko czynnik . Biorąc to pod uwagę, twoje obliczenia są zgodne z Kass i Wassermannem i mogę tylko zgadywać, że Yang i Berger popełnili błąd. Ma to również sens, ponieważ ten pierwszy jest regularnie recenzowanym czasopismem, a drugi jest szkicem pewnego rodzaju zbioru formuł.

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

— A. Donda,

Kass i Wassermann zauważają również, że Jeffreys wprowadził zmodyfikowaną regułę, zgodnie z którą parametry lokalizacji i skali należy traktować osobno. Prowadzi to do a zatem , ale nadal nie do .

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

— A. Donda,

Jim Berger jest nadal aktywnym naukowcem, więc dla pewności możesz sprawdzić bezpośrednio z nim: stat.duke.edu/~berger

— A. Donda

Istniejące odpowiedzi już dobrze odpowiadają na pierwotne pytanie. Jako fizyk chciałbym po prostu dodać do tej dyskusji argument wymiaru. Jeśli weźmiesz pod uwagę i do opisu rozkładu zmiennej losowej w rzeczywistej przestrzeni 1D i mierzonej w metrach, mają one wymiary i . Aby mieć fizycznie poprawny przeor, potrzebujesz odpowiednich wymiarów, tzn. Jedyne możliwości możliwe fizycznie w nieparametrycznym przeorze to: i . $\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
źródło

σ^{3}

$\sigma^{3}$

$\frac{1}{\sigma^3}$ $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— Jorne Biccler
źródło

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$