Dlaczego supremum mostu Browna ma rozkład Kołmogorowa – Smirnowa?

Rozkład Kołmogorowa – Smirnowa jest znany z testu Kołmogorowa – Smirnowa . Jest to jednak także rozkład supremum mostu Browna.

Ponieważ nie jest to dla mnie oczywiste, chciałbym prosić o intuicyjne wyjaśnienie tego przypadku. Referencje są również mile widziane.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

gdzie $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

według CLT masz $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

to jest intuicja ...

most Brownian ma wariancję t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge zamień t na F ( x ) . To jest dla jednego$B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$ ...$x$

Należy również sprawdzić kowariancji i dlatego nadal jest łatwy do show (CLT), że dla ( ) ( G n ( x 1 ) , ... , G n ( x k ) ) → ( B 1 , … , B k ) gdzie ( B 1 , … , B k ) to N ( 0 $x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$ z$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

Trudne jest to, aby pokazać, że rozkład suppremum limitu jest Supremum rozkładu limitu ... Zrozumienie, dlaczego tak się dzieje wymaga empirycznej teorii procesu, czytanie książek, takich jak Van der Waarta i Welner (nie łatwe) . Nazwa tego twierdzenia to Twierdzenie Donskera http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$ , w granicy nieskończonych danych, zbiegnie się do rozkładu leżącego u podstaw.

$q$$x=q$ funkcja rozkładu empirycznego zwiększa się. Możemy na to patrzeć jak na losowy spacer, który jest ograniczony do rozpoczęcia i zakończenia prawdziwej funkcji rozkładu. Kiedy już to wiesz, przeszukujesz literaturę w poszukiwaniu ogromnej ilości informacji na temat losowych spacerów, aby dowiedzieć się, jakie jest największe oczekiwane odchylenie takiego spaceru.

$p$$p=2$$p$