Jaka jest wariancja długoterminowa?

Jak definiuje się wariancję długookresową w dziedzinie analizy szeregów czasowych?

Rozumiem, że jest wykorzystywany w przypadku, gdy w danych występuje struktura korelacji. Więc nasz proces stochastyczny nie byłby rodziną i losowych zmiennych, a raczej tylko identycznie rozmieszczonymi? $X_1, X_2 \dots$

Czy mogę podać standardowe odniesienie jako wprowadzenie do koncepcji i trudności związanych z jej oszacowaniem?

— Monolit
źródło

powiązane: stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— Taylor

Jest to miara błędu standardowego średniej próbki, gdy występuje szeregowa zależność.

Jeśli jest kowariancją stacjonarną z i (w ustawieniu iid ta liczba będzie wynosić zero!) Tak, że . Następnie gdzie pierwsza równość jest ostateczna , drugi jest nieco trudniejszy do ustalenia, a trzeci konsekwencją stacjonarności, co oznacza, że . $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Tak więc problemem jest rzeczywiście brak niezależności. Aby to lepiej zrozumieć, napisz wariancję średniej próbki jako

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Problem z oszacowaniem wariancji długoterminowej polega na tym, że oczywiście nie obserwujemy wszystkich autokowariancji ze skończonymi danymi. W tym celu stosuje się jądro (w ekonometrii „estymatory Newey-West” lub estymatory HAC),

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ to funkcja jądra lub funkcji ważenia, to przykładowe autokowariancje. , między innymi musi być symetryczny i mieć . jest parametrem przepustowości.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Popularnym jądrem jest jądro Bartlett Dobrymi odniesieniami do podręczników są Hamilton, Analiza czasowych lub Fuller . Najważniejszym (ale technicznym) artykułem jest Newey and West, Econometrica 1987 .

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Christoph Hanck
źródło

Dziękuję Ci! Sprawdziłem Analiza szeregów czasowych według Hamiltona. W rzeczywistości mówi, że nieparametrycznym sposobem oszacowania widma jest przyjęcie średniej ważonej kowariancji próbki, ale nie zagłębia się w matematykę stojącą za określeniem tego stwierdzenia. Czy możesz zasugerować książkę referencyjną lub artykuł wyjaśniający, dlaczego jest to dobry estymator, gdy zwiększa się wielkość próbki?

— Monolite

Słuszna uwaga.

— Wprowadzono

Być może warto wspomnieć, że drugi („trudny”) krok wymaga dominacji zbieżności (patrz stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci, dzięki za wskaźnik, zamieściłem link.

— Christoph Hanck

@Cristoph Hanck, nie ma za co, dzięki za aktualizację!

— Tamas Ferenci