X, Y mają oznaczenie N (0,1). Jakie jest prawdopodobieństwo, że X> 2Y

Odtąd myślałem $X, Y$ są z $N(0,1)$ i są więc niezależni

$X - 2Y$ ma rozkład $N(0, 5)$ . Następnie $X-2Y > 0$ ma prawdopodobieństwo $1/2$ .

Wydaje mi się, że powyższe jest poprawne, choć wydaje się, że wtedy $X>nY$ miałoby prawdopodobieństwo $1/2$ . To wydaje się trochę złe. Czy coś źle zrozumiałem?

probability normal-distribution

— Wendeta
źródło

Co tam wydaje się „trochę nie tak”? Czy myślisz o prawdopodobieństwie warunkowym? (

P (X > n Y | Y)

$P(X>nY|Y)$ ... to nie jest prawdopodobne prawdopodobieństwo)

— Glen_b

Jeśli dobrze cię zrozumiałem, wyniki

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ nie wydaje ci się intuicyjny. Ale nawet w przypadku, gdy n jest duże, Y jest dodatnie z prawdopodobieństwem

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ (i ujemne z prawdopodobieństwem

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ). Chociaż | X | jest mało prawdopodobne, aby był większy niż | nY |, prawdopodobieństwo bez wartości bezwzględnych jest uzasadnione

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

— Lan.

W przypadku dwuwymiarowej normy normalnej (tj. Iid normy normalnej) prawdopodobieństwo leżenia po jednej stronie linii przez początek wynosi $\frac{_1}{^2}$ bez względu na nachylenie linii.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Wynika to na przykład z symetrii rotacyjnej rozkładu dwuwymiarowego $O$ , ponieważ możemy zmienić problem na rozważenie $P(X'\gt0)$ w obróconych współrzędnych.

Rzeczywiście, rozważenie zastosowania przekształceń afinicznych oznacza, że musi być $\frac{_1}{^2}$ znacznie bardziej ogólnie - argument będzie miał zastosowanie do dowolnej dwuwymiarowej normy, w której obie wariancje są większe niż 0.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Dzięki, stwierdziłem, że mój wniosek jest nieco sprzeczny z intuicją, ale twój schemat wyjaśnia mi to wszystko.

— Vendetta

Gdyby

X

$X$ i

Y

$Y$ są zatem zerowymi średnimi wspólnie normalnymi zmiennymi losowymi (niekoniecznie niezależnymi)

X - a Y

$X-aY$ jest zerową średnią normalną zmienną losową, a zatem

P. {X > za Y} = P. {X - za Y > 0} = \frac{1}{2)} .

$P\{X > aY\} = P\{X-aY > 0\} = \frac 12.$ Niezależność i wariancje nie mają nic wspólnego z materią: wszystko, co jest potrzebne do utrzymania powyższego wyniku, to to, że zmienne są wspólnie normalne, a średnie wynoszą zero. (Trywialny wyjątek, kiedy

X - a Y

$X-aY$ równa się

0

$0$ , to jest zdegenerowana normalna zmienna losowa, czyli stała, która dzieje się, kiedy

X

$X$ i

Y

$Y$ są doskonale skorelowane i

σ_{X} = a σ_{Y}

$\sigma_X = a\sigma_Y$ ).

— Dilip Sarwate,

Dzięki Dilip, twój komentarz jest oczywiście całkowicie poprawny - zacząłem od podanych warunków i próbowałem dać motywację do wyniku, który OP już uzyskał.

— Glen_b