Odchylenie statystyki Cohena

Cohena jest jednym z najczęstszych sposobów mierzenia wielkości efektu ( patrz Wikipedia ). Po prostu mierzy odległość między dwoma środkami pod względem zbiorczego odchylenia standardowego. Jak możemy uzyskać matematyczny wzór szacowania wariancji Cohena ? $d$$d$

Edycja z grudnia 2015 r .: Z tym pytaniem wiąże się pomysł obliczania przedziałów ufności wokół . W tym artykule stwierdzono, że$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

gdzie jest sumą dwóch wielkości próbek, a jest iloczynem dwóch wielkości próbek.$n_{+}$$n_{\times}$

Jak powstaje ta formuła?

Zauważ, że wyrażenie wariancji w pytaniu jest przybliżeniem. Hedges (1981) wyprowadził dużą wariancję próbki i aproksymację w ustawieniu ogólnym (tj. Wiele eksperymentów / badań), a moja odpowiedź w zasadzie omawia pochodne w pracy.$d$

Po pierwsze, wykorzystamy następujące założenia:

Załóżmy, że mamy dwie niezależne grupy leczenia, (leczenie) i (kontrola). Niech i być oceniane / Odpowiedzi / niezależnie od tematu w grupie i pod warunkiem w grupie , odpowiednio.C Y T i Y C j i T j $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

Zakładamy, że odpowiedzi są normalnie rozłożone i grupy leczenia i kontrolne mają wspólną wariancję, tj

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

Wielkość efektu, którą chcemy oszacować w każdym badaniu, to . Oszacowanie wielkości efektu, którego użyjemy, to gdzie jest obiektywną wariancją próby dla grupy . $\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

Rozważmy właściwości dużej próbki . $d$

Najpierw zauważ, że: i (luźny z moją notacją): i

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

Równania (1) i (2) prowadzą do tego, że (znowu, luźno z moją notacją):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

A teraz sprytna algebra: gdzie

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$, i . Zatem jest razy zmienna, która następuje po rozkładzie t z stopnie swobody i parametr .$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

Korzystając z właściwości momentu rozkładu$t$ , wynika, że: gdzie

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

Zatem równanie (3) zapewnia dokładnie dużą wariancję próbki. Zauważ, że obiektywnym estymatorem dla jest , z wariancją:$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

W przypadku dużych stopni swobody (tj. ) wariancja zmienia się z stopniami swobody i parametrem niecentralności może być aproksymowany przez ( Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995 ). Mamy więc: $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

Podłącz nasz estymator dla i gotowe.$\delta$