Rozkład maksymalnie dwóch skorelowanych zmiennych normalnych

Powiedzmy, że mam dwie standardowe normalne losowe zmienne i które są wspólnie normalne ze współczynnikiem korelacji .X 2$X_1$$X_2$$r$

Jaka jest funkcja dystrybucji ?$\max(X_1, X_2)$

Według Nadarajah i Kotza, 2008 , Dokładny rozkład maksymalnej / minimalnej dwóch zmiennych losowych Gaussa wydaje się , że plik PDF$X = \max(X_1, X_2)$

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

gdzie to PDF, a to CDF standardowego rozkładu normalnego.$\phi$$\Phi$

$\hskip2in$

Niech będzie dwuwymiarowym normalnym plikiem PDF dla ze standardowymi marginesami i korelacją . CDF maksimum jest z definicji ( X , Y ) $f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

Dwuwymiarowy normalny PDF jest symetryczny (poprzez odbicie) wokół przekątnej. Zatem zwiększenie od do dodaje dwa paski o równoważnym prawdopodobieństwie do pierwotnego kwadratu częściowo nieskończonego: nieskończenie gruby górny kwadrat to podczas gdy jego odzwierciedlonym odpowiednikiem jest pasek po prawej stronie to .z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z $z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Gęstość prawdopodobieństwa prawego paska to gęstość w całkowitego prawdopodobieństwa warunkowego, że jest w pasku, . Rozkład warunkowy jest zawsze Normalny, więc aby znaleźć to całkowite prawdopodobieństwo warunkowe, potrzebujemy tylko średniej i wariancji. Średnia warunkowa w jest prognozą regresji a wariancja warunkowa jest "niewyjaśnioną" wariancją .z Y Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$Y Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Teraz, gdy wiemy warunkowego średniej i wariancji, warunkowego CDF danego można uzyskać poprzez standaryzację i stosując standardowy Normalny CDF :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

Oszacowanie tego przy i oraz pomnożenie przez gęstość przy (standardowy Normalny pdf ) daje gęstość prawdopodobieństwa drugiego (prawego) paska$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Podwojenie tego odpowiada górnemu paskowi, który jest prawdopodobny, dając PDF maksimum jako

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Podsumowanie

Pokolorowałem czynniki, aby zaznaczyć ich pochodzenie: dla dwóch symetrycznych pasków; dla nieskończenie małych szerokości paska; i dla długości pasków. Argument tego ostatniego, , jest po prostu standardową wersją uwarunkowaną .ϕ ( z ) Φ ( ⋯ ) 1 - $\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$Y=zX=$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$