Czy 10 głów z rzędu zwiększa szansę, że następnym rzutem będzie ogon?

Zakładam, że jest to prawdą: zakładanie uczciwej monety, zdobywanie 10 głów z rzędu podczas rzucania monetą nie zwiększa szansy na to, że następnym rzutem monetą będzie ogon , bez względu na to, jakie prawdopodobieństwo i / lub żargon statystyczny jest rzucany (przepraszam za kalambury).

Zakładając, że tak jest, moje pytanie brzmi: jak, do diabła, przekonać kogoś, że tak jest?

Są inteligentni i wykształceni, ale wydają się zdeterminowani, aby nie brać pod uwagę, że mogę mieć rację w tej sprawie (argument).

próbują twierdzić, że [...] jeśli było 10 głów, to następny w sekwencji będzie prawdopodobnie ogonem, ponieważ statystyki mówią, że w końcu się wyrówna.

Istnieje tylko „wyważenie” w bardzo szczególnym sensie.

Jeśli jest to uczciwa moneta, to wciąż 50-50 przy każdym rzucie. Moneta nie może poznać swojej przeszłości . Nie może wiedzieć, że było nadmiar głów. Nie może zrekompensować swojej przeszłości. Ever . po prostu losowo staje się głową lub reszkiem ze stałą szansą na głowę.

Jeśli to liczba głów w ( to liczba ogonów), dla uczciwej monety będzie miał tendencję do 1, ponieważ zmierza w nieskończoność .... alenie idzie do 0. W rzeczywistości idzie także do nieskończoności! n = n H + n T n T n H / n T n H + n T | n H - n T $n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Oznacza to, że nic nie czyni ich bardziej wyrównanymi. Liczby nie mają tendencji do „równoważenia się”. Przeciętnie rośnie nierównowaga między liczbą głów i ogonów!

Oto wynik 100 zestawów 1000 rzutów, z szarymi śladami pokazującymi różnicę liczby główek minus liczbę ogonów na każdym kroku.

Szare ślady (reprezentujące ) są losowym spacerem Bernoulliego. Jeśli pomyślisz o cząstce poruszającej się w górę lub w dół osi y o krok jednostkowy (losowo z jednakowym prawdopodobieństwem) na każdym kroku czasowym, wówczas rozkład pozycji cząsteczki „rozproszy się” w czasie od 0. Nadal ma wartość oczekiwaną 0, ale jej przewidywana odległość od 0 rośnie jako pierwiastek kwadratowy z liczby kroków czasowych. [Uwaga dla każdego, kto myśli „ czy chodzi o oczekiwaną różnicę bezwzględną czy różnicę RMS ” - w rzeczywistości albo: dla dużego pierwszym jest 80% drugiego.] n $n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

Niebieska krzywa powyżej znajduje się w a zielona krzywa jest w . Jak widać, rośnie typowa odległość między głowami ogółem a ogonami ogółem. Gdyby było coś, co działałoby w celu „przywrócenia do równości” - w celu „nadrobienia” odchyleń od równości - nie miałyby one tendencji do dalszego rozrastania się. (Nie jest trudno to pokazać algebraicznie, ale wątpię, by przekonało to twojego przyjaciela. Najważniejsze jest to, że wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest sumą wariancji patrz koniec połączonej sekcji - co kiedy dodajesz kolejną monetę, dodajesz stałą kwotę do wariancji sumy ... więc wariancja musi rosnąć proporcjonalnie z ±2$\pm \sqrt{n}$ <>n$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$. W związku z tym odchylenie standardowe wzrasta z . W tym przypadku stała, która jest dodawana do wariancji na każdym etapie, wynosi 1, ale nie jest to kluczowe dla argumentu.)$\sqrt{n}$

Odpowiednio, idzie do gdy suma rzutów idzie w nieskończoność, ale tylko dlatego, że idzie w nieskończoność znacznie szybciej niżrobi. 0nH+nT| nH-nT$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Oznacza to, że jeśli podzielimy tę skumulowaną liczbę przez$n$ na każdym kroku, zakrzywi się ona - typowa bezwzględna różnica w liczeniu jest rzędu , ale typowa bezwzględna różnica w proporcji musi wówczas być rzędu . 1/$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

To wszystko, co się dzieje. Coraz większe * losowe odchylenia od równości są po prostu „ wypłukiwane ” przez jeszcze większy mianownik.

* zwiększenie typowego rozmiaru bezwzględnego

Zobacz małą animację na marginesie tutaj

Jeśli twój przyjaciel nie jest przekonany, rzuć monetą. Za każdym razem, gdy mówisz trzy głowy z rzędu, poproś go, aby wyznaczył prawdopodobieństwo wystąpienia głowy przy kolejnym rzucie (to mniej niż 50%), które jego zdaniem muszą być uczciwe według jego rozumowania. Poproś, aby dali ci odpowiednie szanse (to znaczy, że on lub ona musi być gotów zapłacić nieco więcej niż 1: 1, jeśli stawiasz na głowy, ponieważ twierdzą, że reszka jest bardziej prawdopodobna). Najlepiej, jeśli jest ustawiony na wiele zakładów, każdy za niewielką kwotę. (Nie zdziw się, jeśli istnieje usprawiedliwienie, dlaczego nie mogą podjąć połowy zakładu - ale wydaje się, że przynajmniej dramatycznie zmniejsza gwałtowność, z jaką pozycja jest utrzymywana).

[Jednak cała ta dyskusja opiera się na uczciwości monety. Jeśli moneta nie była sprawiedliwa (50–50), wymagana byłaby inna wersja dyskusji - oparta na odchyleniach od oczekiwanej różnicy proporcji. Posiadanie 10 głów w 10 rzutach może budzić podejrzenia co do założenia p = 0,5. Dobrze rzucona moneta powinna być zbliżona do uczciwej - ważonej lub nie - ale w rzeczywistości nadal powinna wykazywać niewielkie, ale użyteczne nastawienie , szczególnie jeśli osoba ją wykorzystująca to ktoś taki jak Persi Diaconis. Z drugiej strony monety wirowane mogą być dość podatne na stronniczość ze względu na większą wagę na jednej twarzy.]

Zamieszanie polega na tym, że patrzy na prawdopodobieństwo od samego początku, nie patrząc na to, co już się wydarzyło.

Uprośćmy rzeczy:

Pierwsze odwrócenie:

T

Teraz szansa na T wynosiła 50%, a więc 0,5.

Szansa, że ​​następnym rzutem będzie znowu T, wynosi 0,5

TT 0.5
TF 0.5

A co z pierwszym przerzuceniem? Jeśli to uwzględnimy, to:

TT 0.25
TF 0.25

Pozostałe 50% zaczyna się na literę F i znów ma równy podział na T i F.

Aby rozszerzyć to do dziesięciu ogonów z rzędu - prawdopodobieństwo, że już to dostałeś, wynosi 1/1024.

Prawdopodobieństwo, że następnym będzie T lub F, wynosi 50%.

Tak więc szansa od początku 11 ogonów wynosi 1 w 2048 r. Prawdopodobieństwo, że po 10-krotnym przewróceniu ogona do następnego przewrotu będzie również ogonem, nadal wynosi 50%.

Próbują zastosować nieoczekiwane prawdopodobieństwo 1 na 1024 szansy 10 T do szansy na inną T, podczas gdy tak naprawdę już się stało, więc prawdopodobieństwo, że tak się stanie, nie jest już ważne.

11 ogonów z rzędu nie jest bardziej lub mniej prawdopodobne niż 10 ogonów, po których następuje jedna głowa.

Prawdopodobieństwo, że 11 rzutów jest ogonami, jest mało prawdopodobne, ale ponieważ już się stało, nie ma już znaczenia!

Szanse są nadal 50-50, że następnym rzutem będą ogony.

Bardzo proste wyjaśnienie: szanse na przewrócenie 10 głów + 1 ogona w tej kolejności są bardzo niskie. Ale zanim rzuciłeś 10 głów, pokonałeś już większość szans ... masz 50-50 szans na zakończenie sekwencji przy kolejnym rzucie monetą.

Powinieneś spróbować przekonać ich, że jeśli poprzednie wyniki miałyby wpłynąć na nadchodzące rzuty, to należy wziąć pod uwagę nie tylko ostatnie 10 rzutów, ale także każde poprzednie losowanie monet.

Myślę, że to bardziej logiczne podejście.

To naprawdę nie jest odpowiedź - twój problem jest psychologiczny, a nie matematyczny. Ale to może pomóc.

Często spotykam się z twoim pytaniem „jak do diabła ...”. Odpowiedzi tutaj - w większości poprawne, są zbyt matematyczne dla osób, do których się zwracasz. Jednym z miejsc, które zaczynam, jest przekonanie ich, że rzut 10 monetą jest zasadniczo taki sam jak rzut 10 monetami jednocześnie. Mogą pojąć fakt, sometimesże zobaczysz 10 głów. W rzeczywistości dzieje się to mniej więcej raz na tysiąc prób (od ). Jeśli spróbuje tego 15 000 osób, około 30 z nich pomyśli, że ma specjalne monety - wszystkie głowy lub wszystkie ogony. Jeśli zaakceptują ten argument, krok do kolejnych rzutów jest nieco łatwiejszy.$2^{10} \approx 10^3$

Aby dodać do wcześniejszych odpowiedzi, istnieją tutaj dwie kwestie , po pierwsze , co dzieje się, gdy liczba jest rzeczywiście sprawiedliwa, a każde podrzucenie jest niezależne od wszystkich innych rzutów. Następnie mamy „prawo wielkich liczb”, mówiąc, że w granicy ciągle rosnącej sekwencji rzutów częstotliwość ogonów zbliża się do prawdopodobieństwa ogona, czyli .$1/2$

Jeśli wszystkie pierwsze dziesięć rzutów były ogonami, wówczas częstotliwość graniczna nadal będzie wynosić połowę, bez potrzeby późniejszych rzutów „równoważąc” pierwsze dziesięć ogonów! Algebraicznie niech będzie liczbą ogonów między rzutami. Załóżmy, że faktycznie otrzymujemy Następnie, biorąc pod uwagę pierwsze dziesięć rzutów, nadal będziemy mieć limit To znaczy, po milionie i dziesięciu rzutach mamy $x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ więc w limicie pierwsze 10 ogonów nie ma żadnego znaczenia, jego efekt jest „wypłukiwany” przez wszystkie późniejsze rzuty. Tak więc nie ma potrzeby „równoważenia”, aby wynik limitu mógł zostać utrzymany. Z matematycznego punktu widzenia wykorzystuje to po prostu fakt, że granica (jeśli istnieje ...) dowolnej sekwencji liczb w ogóle nie zależy od żadnego skończonego początkowego segmentu! Możemy więc dowolnie przypisać wyniki dla pierwszych dziesięciu (lub pierwszej setki) rzutów bez wpływu na limit. Wydaje mi się, że ten sposób objaśnienia znajomym graczy (może z większą liczbą liczb i przykładów i mniejszą algebrą ...) może być najlepszym sposobem.

Drugi aspekt to : po dziesięciu rzutach dziesięć ogonów, może ktoś zaczyna wątpić, czy moneta jest dobra, odpowiada prostemu, zwykłemu modelowi niezależnych rzutów o jednakowym prawdopodobieństwie. Zakładając, że „podrzucacz” (osoba wykonująca podrzucanie) nie został przeszkolony do kontrolowania podrzucania w jakikolwiek sposób, i naprawdę rzuca w uczciwy sposób, prawdopodobieństwo ogona musi wynosić połowę ( patrz ten artykuł Gelmana ).

Zatem w alternatywnej hipotezie musi istnieć pewna zależność między rzutami monetą! A po zobaczeniu dziesięciu ogonów z rzędu dowodzi, że zależność jest dodatnia, więc jeden ogon zwiększa prawdopodobieństwo, że następnym rzutem monetą będzie ogon. Ale po tej analizie rozsądny wniosek jest taki, że prawdopodobieństwo jedenastego rzutu ogonem jest zwiększone , a nie obniżone! Zatem wniosek w tym przypadku jest przeciwieństwem znajomych graczy.

Myślę, że będziesz potrzebować bardzo dziwnego modelu, aby uzasadnić ich wnioski.

Zakładając, że rzuty monetą są niezależne, bardzo łatwo jest to udowodnić między statystykami. Jednak twój przyjaciel wydaje się nie wierzyć, że rzut monetą jest niezależny. Poza rzucaniem dookoła słowami, które są synonimem niezależnych (na przykład moneta nie ma „pamięci”), nie możesz mu udowodnić, że rzut monetą jest niezależny za pomocą zwykłego argumentu słownego. Sugerowałbym użycie symulacji w celu potwierdzenia roszczenia, ale szczerze mówiąc, jeśli twój przyjaciel nie wierzy, że monety są niezależne, nie jestem pewien, czy uwierzy w wyniki symulacji.

Aby powtórzyć niektóre z wyjaśnień już podanych (przez @TimB i @James K), gdy rzucisz monetą 10 razy i zdobędziesz 10 głów, prawdopodobieństwo uzyskania 10 głów z rzędu wynosi dokładnie 1,0! To się już wydarzyło, więc prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest teraz ustalone.

Po pomnożeniu tego przez prawdopodobieństwo uzyskania głów przy następnym rzucie (0,5), otrzymujesz dokładnie 0,5.

Zakłady na reszki z czymkolwiek innym niż nawet kursy w tym momencie to zakład frajera.

Powiedzmy, że jestem przekonany, że moneta jest uczciwa. Jeśli moneta była uczciwa, prawdopodobieństwo posiadania 10 głów z rzędu wynosi Tak więc, jako częsty o znaczeniu , muszę odrzucić monetę : jest sprawiedliwy i stwierdzić, że : „coś podejrzanego” jest prawdą. Nie, nie mogę nalegać, aby prawdopodobieństwo zobaczenia innej głowy nadal było

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

Odejdę od ciebie, aby zastosować podejście bayesowskie i dojść do podobnego wniosku. Zaczniesz od wcześniejszego prawdopodobieństwa głów , a następnie zaktualizujesz ją, obserwując 10 głów z rzędu, i zobaczysz, jak prawdopodobne jest prawdopodobieństwo głów$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

Przykład aktualizacji @oerkelens można interpretować na dwa sposoby.

• Twój przyjaciel postawił na THHTTHTTHT, a następnie rzucił monetę 10 razy i otrzymał: THHTTHTTHT. W takim przypadku będziesz zaskoczony tak, jak 10 głów z rzędu i zaczniesz wątpić w uczciwość monety. Nie jesteś pewien, co pomyśleć o prawdopodobieństwie ogona w następnym rzucie, ponieważ twój przyjaciel wydaje się być w stanie uzyskać dokładnie to, czego chce, to nie jest przypadkowe.
• rzuciłeś monetę 10 razy i zaobserwowałeś kombinację, która okazała się być THHTTHTTHT, zauważysz, że było 6 ogonów i 4 głowy, czyli , co nie jest niczym niezwykłym. Prawdopodobieństwo ogona w następnym rzucie to prawdopodobnie , ponieważ nie ma powodu wątpić w jego rzetelność.$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

Można również argumentować, że chociaż 0,001 jest małym prawdopodobieństwem, jeśli rzucisz 10 monet 100 000 razy, na pewno zobaczysz kilka kombinacji 10-głowowych. To prawda, ale w tym przypadku masz w sumie 1 milion rzutów monet i szukasz co najmniej jednej kombinacji 10 głów w sekwencji. Prawdopodobieństwo częstego obserwowania co najmniej jednej kombinacji 10-osobowej jest obliczane w następujący sposób: Tak więc częsty kończy po długich miesiącach rzucania monetą milion razy i obserwowaniu 10-osobowej kombinacji, że to nic wielkiego, rzeczy się dzieją. Nie będzie dostosowywał swoich oczekiwań co do prawdopodobieństwa następnej głowy i pozostaw to na poziomie 0,5

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

DLA LUDZI KOMPUTEROWYCH Jeśli twoi znajomi są programistami komputerowymi, to odkryłem, że najłatwiejszym sposobem odwołania się do ich intuicji jest programowanie. Poproś ich, aby zaprogramowali eksperyment rzucania monetami. Zastanowią się przez chwilę, a potem wymyślą coś takiego:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Zapytasz ich

gdzie jest twój kod do obsługi 10 głów z rzędu? Wygląda na to, że w twoim kodzie, niezależnie od tego, co wydarzyło się w pierwszych 10 pętlach, 11. rzut ma prawdopodobieństwo trafienia 0,5.

Jednak ta sprawa odwołuje się do rzutu monetą. Kod został zaprojektowany z uczciwym rzutem monetą. Jednak w przypadku 10 głów bardzo mało prawdopodobne jest, aby moneta była uczciwa.

W idealnych okolicznościach odpowiedź brzmi „nie”. Każdy rzut jest niezależny od tego, co było wcześniej. Więc jeśli jest to naprawdę uczciwa moneta, to nie ma znaczenia. Ale jeśli nie masz pewności, czy moneta jest wadliwa, czy nie (co może się zdarzyć w prawdziwym życiu), długi ciąg ogonów może prowadzić do przekonania, że ​​jest niesprawiedliwa.

Ta odpowiedź będzie działać na wszystkie pytania tego rodzaju, w tym na problem Monty Hall. Po prostu zapytaj ich, jakie według nich są szanse na uzyskanie ogona po dziesięciu głowach. Zaoferuj zagranie z nimi nieco lepiej (dla nich), ale nadal poniżej 50-50 kursów. Przy odrobinie szczęścia zgodzą się, aby komputer wykonał rzut, w takim przypadku szybko będziesz mieć w kieszeni pewną sumę pieniędzy. W przeciwnym razie potrwa to dłużej, ale wynik jest (nieuchronnie) taki sam.

Jak byś ich przekonał? Jednym ze sposobów jest pokazanie rozkładu wyników z dokładnie opisanego problemu.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

Spróbuj tak: Załóżmy, że mamy już rzutów głowami - bardzo rzadkie zdarzenie z prawdopodobieństwem „bycia tam” wynoszącym . Teraz przygotowujemy się do kolejnego rzutu i zastanawiamy się, co może się stać dalej:0,5 $10$$0.5^{10}$

• jeśli ogony, to nadal kończy się nagrywanie niezwykle rzadkiej serii zdarzeń z prawdopodobieństwem ;$0.5^{10}$
• jeśli głowy, prawdopodobieństwo całej serii jest nieco mniejsze, ale nie tak dużo mniejsze, ;$0.5^{11}$

Różnica między nimi polega na jednym rzucie monetą.