Który zbiega się szybciej, średnio lub średnio?

Jeśli narysuję zmienne iid z N (0,1), czy średnia lub mediana zbiegną się szybciej? O ile szybciej?

Aby być bardziej szczegółowym, niech będzie sekwencją zmiennych iid pochodzących z N (0,1). Zdefiniuj , a będzie medianą . Który zbiegnie się do 0 szybciej, lub ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Konkretność, co oznacza szybsze konwergowanie: czy istnieje ? Jeśli tak, co to jest? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
źródło

Czy pytasz o zbieżność prawdopodobieństwa oszacowania punktowego w odniesieniu do parametru populacji? A może pytasz o zbieżność w rozkładzie zmiennej losowej?

— Ryan Simmons,

Przez „zbiegać się szybciej do 0” masz na myśli „która ma mniejszą asymptotyczną wariancję” czy coś innego?

— Glen_b

@Glen_b Do pewnego stopnia jest to uzasadnione prawdziwym problemem: mediana jest bardziej odporna na wartości odstające, więc wydaje się, że mediana próbki powinna zbiegać się szybciej niż średnia wraz ze wzrostem wielkości próby. Naprawdę nie wiem, jaki jest najlepszy sposób wyrażenia tempa konwergencji w tej sytuacji. Dla konkretności mogę zapytać, czy istnieje

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ , a jeśli tak, to co to jest.

— Josh Brown Kramer

Jeśli dane są rzeczywiście pobierane z rozkładu normalnego, wartości odstające są niezwykle rzadkie - tak rzadkie, że wpływ na średnią pozostawia średnią próbki jako najbardziej efektywny szacunek średniej populacji. Ale nie potrzebujesz zróżnicowanego ciężkiego ogona, aby mediana była konkurencyjna.

— Wspomniany

W tym konkretnym przypadku średnia i mediana są takie same. Wiadomo, że mediana jest skuteczna na poziomie 64% jako średnia, więc średnia szybciej się zbiega. Mogę napisać więcej szczegółów, ale wikipedia dokładnie zajmuje się twoim pytaniem.

— Yair Daon
źródło

Czy masz cytat?

— Josh Brown Kramer,

Laplace, PSde (1818) Deuxième suplement à la Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace podaje rozkład asymptotyczny zarówno dla średniej, jak i mediany. Zobacz także sekcję na temat wariancji mediany na Wikipedii

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) ostateczne odniesienie !!!

— Xi'an

@Glen_b tak, to była epicka odpowiedź, śmiałem się dość mocno. Dziękuję za to!

— user541686,

@ Xi'an czy chciałeś napisać, że średnia i mediana są tej samej ilości?

— Yair Daon,