Wystarczalność lub niewystarczalność

Rozważ losową próbkę gdzie są zmiennymi losowymi gdzie . Sprawdź, czy jest wystarczającą statystyką dla . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Po pierwsze, jak możemy znaleźć rozkład dla ? A może powinien być podzielony na a następnie czy będzie to ? Myślę, że nie, ponieważ zauważ, że wszystkie zmienne nie są tutaj niezależne. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Alternatywnie, jeśli zastosuję warunek faktoryzacji, biorąc pod uwagę tylko wspólne pmf z to gdzie . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

To pokazuje, że nie jest wystarczające. $T$

Ale co jeśli chcę zastosować się do definicji i zastosować aby sprawdzić, czy ten stosunek jest niezależny od ? Następnie muszę znać rozkład . Czym zatem jest rozkład ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
źródło

Wskazówka: Nie musisz znać pełnej dystrybucji . Rozważmy na przykład przypadek : jaki jest warunkowy rozkład prawdopodobieństwa ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Jeśli to . Więc który jest zależny od , prawda?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

To właściwy pomysł - ale nie rozumiem, dlaczego dodajesz dwa prawdopodobieństwa. Czy nie jest wektorem ? (Jeśli chcesz, możesz użyć tego samego rodzaju obliczeń, aby znaleźć pełny rozkład (może osiągnąć tylko wartości ), ale to już nie jest konieczne, prawda? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Tak, jasne. Dzięki! Więc kiedy pokażemy, że ten stosunek nie jest niezależny od przynajmniej dla próbki, to skończymy! Dziękuję Ci. I SZCZĘŚLIWEGO NOWEGO ROKU :)

p

$p$

— Landon Carter

Tak jest wektorem, ale co ważniejsze a prawdopodobieństwo . Proszę, popraw mnie jeśli się mylę.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Miałem dyskusję z „whuber” i może dostałem (poprawną?) Wskazówkę, aby spojrzeć na dowolny przykładowy punkt: ocena w punkcie próbki i sprawdź, czy stosunek ten jest niezależny od parametru, w tym przypadku . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Więc weź a następnie . Zatem oceniamy Teraz,Ze względu na właściwość iidRównież $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T. (X) = 2) iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P. (X = (1, 0, 1)) = p^{2)} (1 - p) i P. (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2)} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P. (T. (X) = 2)) = P. (X = (1, 0, 1)) + P. (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Stąd który jest wyraźnie zależny od , a zatem nie jest wystarczającą statystyką.

\frac{P. (X = (1, 0, 1))}{P. (T. (X) = 2))} = \frac{p^{2)} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
źródło