Jak znaleźć średnią sumy zmiennych zależnych?

Wiem, że średnia sumy zmiennych niezależnych jest sumą średnich każdej zmiennej niezależnej. Czy dotyczy to również zmiennych zależnych?

mean non-independent

— Gh75m
źródło

@feetwet, samo usunięcie „podziękowania” nie jest tak naprawdę ważne, aby podbić wątek sprzed 18 miesięcy. FWIW, głosowałem za odrzuceniem tej zmiany (ale 2 inne zostały zatwierdzone, więc inaczej nie zobaczyłbyś mojego komentarza).

— Gung - Przywróć Monikę

@gung - W widoku pytań „Aktywne” wszystkie rzeczy mogą się zepsuć. Twoja obserwacja była często dokonywana, a polityka wymiany stosów AFAIK jest taka, że pomimo tej wady, ważne drobne zmiany są dobre .

— footwet

@feetwet, nie jestem pewien, jak trafny jest meta.Photography post jest tutaj. Każda witryna SE ma swoje własne meta i własne zasady, określone przez społeczność. Możesz spojrzeć na odpowiednie wątki meta.CV, np. Ten: Obsługa „sugerowanych zmian” postów . Można zauważyć, że odpowiedź Whubera cytuje Jeffa Atwooda: „drobne zmiany [edytuj], takie jak… usunięcie tylko pozdrowienia z postu.… Odrzucenie ich z wyjątkowym uprzedzeniem”, a joran podkreśla, „Mój próg, kiedy edycja jest zbyt drobna i jest odwrotnie związana z wiekiem pytania ".

— gung - Przywróć Monikę

@gung post Fotografia Odsyłam linki do znaczących i nowszych pytań i odpowiedzi dotyczących Meta Stack Exchange na ten temat . Ale jeśli 4-letnia odpowiedź Whubera jest nadal kanoniczna dla Cross Validated, uszanuję to .

— wetwet

Odpowiedzi:

Oczekiwanie (biorąc pod uwagę średnią) jest operatorem liniowym .

Oznacza to, że między innymi $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ dla dowolnych dwóch zmiennych losowych $X$ i $Y$ (dla których istnieją oczekiwania), niezależnie od tego, czy są one niezależne, czy nie.

Możemy uogólnić (np. Przez indukcję ), aby $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ , o ile istnieje każde oczekiwanie $\mathbb{E}(X_i)$ .

Tak więc, średnia sumy jest taka sama jak suma średniej, nawet jeśli zmienne są zależne. Pamiętaj jednak, że nie dotyczy to wariancji! Tak więc, podczas gdy $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ dla zmiennych niezależnych, a nawet zmiennych, które są zależne, ale nieskorelowane , ogólny wzór to $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ gdzie $\mathrm{Cov}$ jestkowariancjązmiennych.

— Silverfish
źródło

TL; DR:
Zakładając, że istnieje, średnia jest wartością oczekiwaną, a wartość oczekiwaną jest całką, a całki mają właściwość liniowości w odniesieniu do sum.

TS; DR:
Ponieważ mamy do czynienia z sumą zmiennych losowych , tj. Funkcją wielu z nich, średnia sumy odnosi się do ich wspólnego rozkładu ( zakładamy, że wszystkie środki istnieją i są ograniczone) oznaczającą wielozmienna wektora z RV, ich wspólne gęstości może być zapisana jako $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $E(Y_n)$ $\mathbf X$ $n$ i ich wspólna podpora Korzystając zprawa nieświadomego statystyki , mamycałkęwielokrotną $f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$ $D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

mi [Y_{n}] = \int_{re} Y_{n} {fa}_{X} (x) re x

$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$

W pewnych warunkach regularności możemy rozłożyć całkę wielokrotną na całkę literaturową: $n$

mi [Y_{n}] = \int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{1}}} [\sum_{ja = 1}^{n} X_{ja}] {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{1} . . . re x_{n}

$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$

i używając liniowości całek, na które możemy się rozłożyć

= \int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{1}}} x_{1} {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{1} . . . re x_{n} + . . . . . . + \int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{1}}} x_{n} {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{1} . . . re x_{n}

$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$

Dla każdej literatury całkowej możemy zmienić kolejność całkowania, tak aby w każdym przypadku całka zewnętrzna dotyczyła zmiennej znajdującej się poza gęstością połączenia. Mianowicie, $n$

\int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{1}}} x_{1} {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{1} . . . re x_{n} = \int_{{S.}_{X_{1}}} x_{1} \int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{2)}}} {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{2)} . . . re x_{n} re x_{1}

$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$

i na ogół

\int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{jot}}} . . . \int_{{S.}_{X_{1}}} x_{jot} {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{1} . . . re x_{jot} . . . re x_{n} =

$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$

= \int_{{S.}_{X_{jot}}} x_{jot} \int_{{S.}_{X_{n}}} . . . \int_{{S.}_{X_{jot - 1}}} \int_{{S.}_{X_{jot + 1}}} . . . \int_{{S.}_{X_{1}}} {fa}_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) re x_{1} . . . re x_{jot - 1} re x_{jot + 1} . . . . . . re x_{n} re x_{jot}

$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$

Gdy obliczamy kolejno całkę w każdej literackiej całce (zaczynając od wewnątrz), „integrujemy” zmienną i uzyskujemy na każdym etapie rozkład „wspólnych marginalnych” pozostałych zmiennych. Każdy zatem -iterative integralną zakończy się jak . $n$ $n$ $\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Łącząc to wszystko, dochodzimy do

mi [Y_{n}] = mi [\sum_{ja = 1}^{n} X_{ja}] = \int_{{S.}_{X_{1}}} x_{1} {fa}_{X_{1}} (x_{1}) re x_{1} + . . . + \int_{{S.}_{X_{n}}} x_{n} {fa}_{X_{n}} (x_{n}) re x_{n}

$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$

Ale teraz każda prosta całka jest oczekiwaną wartością każdej zmiennej losowej osobno, więc

mi [\sum_{ja = 1}^{n} X_{ja}] = mi (X_{1}) + . . . + mi (X_{n})

$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$

= \sum_{ja = 1}^{n} mi (X_{ja})

$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$

Zauważ, że nigdy nie odwoływaliśmy się do niezależności lub niezależności zmiennych losowych, ale pracowaliśmy wyłącznie z ich wspólnym rozkładem.

— Alecos Papadopoulos
źródło

@ssdecontrol Jest to jeden upvote Doceniam, rzeczywiście .

— Alecos Papadopoulos

Rozszerzenie do iterowanych całek iz powrotem jest niepotrzebne. To komplikuje prosty argument. Możesz zamienić sekcję „TS; DR” na ostatnie zdanie i uzyskać dobrą odpowiedź.

— whuber

@ whuber Półtora roku później wciąż mi ucieka (to znaczy, bez użycia faktu „liniowości operatora oczekiwań”, który był już używany przez drugą odpowiedź). Jakaś wskazówka, abym mógł przerobić odpowiedź na ten prosty argument?

— Alecos Papadopoulos

Myślę, że ten argument jest zbyteczny. Kluczem do całości jest twoja obserwacja w ostatnim zdaniu.

— whuber