Jaki stosunek niezależnych dystrybucji daje rozkład normalny?

13

Stosunek dwóch niezależnych rozkładów normalnych daje rozkład Cauchy'ego. Rozkład t jest rozkładem normalnym podzielonym przez niezależny rozkład chi-kwadrat. Stosunek dwóch niezależnych rozkładów chi-kwadrat daje rozkład F.

Szukam współczynnika niezależnych ciągłych rozkładów, który daje normalnie rozłożoną zmienną losową o średniej i wariancji ? $\mu$ $\sigma^2$

Prawdopodobnie istnieje nieskończony zestaw możliwych odpowiedzi. Czy możesz podać mi niektóre z tych możliwych odpowiedzi? Byłbym szczególnie wdzięczny, gdyby dwa niezależne rozkłady, których stosunek jest obliczany, są takie same lub przynajmniej mają podobną wariancję.

— Remi.b
źródło

2

Chociaż artykuł w Wikipedii o rozkładach proporcji nie zawiera przykładów przypadku, dla którego szukasz, jest to ciekawa lektura.

— Avraham

2

Dość szczególnym przypadkiem jest

normalna norma, a

niezależnie

z prawdopodobieństwem

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

, a następnie

,

i

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

mają tę samą średnią i wariancję i

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

jest zwykle dystrybuowane.

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— Henry

1

„ Stosunek dwóch niezależnych rozkładów chi-kwadrat daje rozkład F ” --- cóż, niezupełnie. Daje rozkład beta-prime. Aby uzyskać F, musisz przeskalować każdy chi-kwadrat o jego df.

— Glen_b

2

Wiele rzeczy sprawia, że wcale nie jestem przekonany, że spełnienie wszystkich twoich warunków jest koniecznie.

— Glen_b

1

biorąc przykład generowania metody zmiennych normalnych (np. Box-Muller) jako przykład (która wykorzystuje metodę koła) powiedziałbym, że nie ma stosunków rozkładów jednorodnych, które dają rozkład normalny (przy założeniu, że proszone są rozkłady jednolite)

— Nikos M.

7

Niech gdziema rozkład wykładniczy ze średniąiz jednakowym prawdopodobieństwem. Niech $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ gdzie. Zakładając, żesą wzajemnie niezależne, wówczasjest niezależne odi. Stąd mamy $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

niezależne od ; $Y_1$ $Y_2$
Oba ciągłe; takie, że
. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Nie wymyśliłem, jak uzyskać . Trudniej jest zrozumieć, jak to zrobić, ponieważ problem sprowadza się do znalezienia i które są niezależne od $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$ , który jest trochę trudniejsze niż wykonywaniedla niezależnegoi.

\frac{ZA - b μ}{b} \sim Normalna (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— chłopak
źródło

1

Jeśli to prawda, to jest niesamowite.

— Neil G

2

@NeilG to prawda; produktem mojej beta i wykładniczej jest gamma o kształcie 1/2 (z powodu tego, jak można zbudować beta i niezależną gamma za pomocą gamma). Zatem pierwiastek kwadratowy tego jest w połowie normalny, biorąc pod uwagę fakt, że kwadrat normy jest chi-kwadrat.

— facet

1

Niedawno zadaliśmy pytanie o iloczyn dwóch zmiennych o rozkładzie normalnym (nie mogę go znaleźć z powrotem). To pytanie zawierało komentarz lub odpowiedź dotyczącą transformacji Boxa-Mullera, która oblicza rozkład normalny (a ściślej dwuwymiarowy rozkład normalny) z iloczynu dwóch transformowanych jednorodnych zmiennych rozkładowych. Ta odpowiedź bardzo się z tym wiąże, ale bierze odwrotność jednej z tych zmiennych w transformacji Boxa-Mullera. cc: @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

2

Byłbym szczególnie wdzięczny, gdyby dwa niezależne rozkłady, których stosunek jest obliczany, są takie same

Jest ma możliwość, że normalna zmienna może być zapisane jako stosunek dwóch zmiennych niezależnych z tego samego rozkładu lub rodziny rozprowadzania (takich jak F-rozprowadzający, który jest stosunkiem dwóch skalowane $\chi^2$ zmiennych o rozkładzie lub Cauchy- rozprowadzający, który jest stosunek dwóch normalnych zmiennych rozkładowych ze średnią zerową).

Załóżmy, że: dla dowolnej $A, B \sim F$ gdzie $F$ jest tą samą dystrybucją lub rodziną dystrybucji, mamy
$X = \frac{ZA}{b} \sim N. (μ, σ^{2)})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Musimy także być w stanie odwrócić $A$ i $B$ (jeśli zmienna normalna może być zapisana jako stosunek dwóch niezależnych zmiennych o tym samym rozkładzie lub rodzinie rozkładów, wówczas kolejność można odwrócić)
$\frac{1}{X} = \frac{b}{ZA} \sim N. (μ, σ^{2)})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Ale jeśli $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ to $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ nie może być prawdziwe (odwrotność normalnej zmiennej rozproszonej nie jest inną normalną zmienną rozkładową).

Szerszy wniosek: jeśli zmienne w dowolnej rodzinie rozkładów $\mathcal{F}_X$ można zapisać jako stosunek zmiennych w innej rodzinie rozkładów $\mathcal{F}_Y$ to musi być tak, że rodzina $\mathcal{F}_X$ jest zamknięta przyjmując odwrotność (tj. Dla każdej zmiennej, której rozkład jest w $\mathcal{F}_X$ rozkład jego wzajemności będzie również wyrażony w $\mathcal{F}_X$ ).

Np. Odwrotność zmiennej rozproszonej Cauchy'ego jest również rozproszona Cauchy'ego. Odwrotność zmiennej rozproszonej F. jest również rozproszona F.

To „jeśli” nie jest „iff”, odwrotność nie jest prawdą. Gdy $X$ i $1/X$ należą do tej samej rodziny rozkładów, nie zawsze może być możliwe zapisanie jako rozkład stosunku z mianownikiem i mianownikiem z tej samej rodziny rozkładów.

Przeciwprzykład: możemy sobie wyobrazić rodziny dystrybucji, dla których dla dowolnego $X$ w rodzinie mamy $1/X$ w tej samej rodzinie, ale nie mamy $P(X=1)=0$ . Jest to sprzeczne z faktem, że dla rozkładu stosunku, w którym mianownik i mianownik mają ten sam rozkład, musimy mieć $P(X=1) \neq 0$ (i coś podobnego można wyrazić dla ciągłych rozkładów, takich jak całka wzdłuż linii X / Y = 1 na wykresie rozrzutu X, Y ma pewną niezerową gęstość, gdy X i Y mają ten sam rozkład i są niezależne).

— Sextus Empiricus
źródło

Nie widzę tego Wydaje mi się, że tylko dlatego, że

i

są normalne, to nie czyni

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

normalny.

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— Carl

1

Nie rozumiem, w jaki sposób drugie zdanie wynika z pierwszego. Jeśli istnieją pewne

takie, że ich iloraz jest normalny, dlaczego wynika z tego, że ich iloraz w innej kolejności również powinien być normalny? Pytanie nie wymagało takiej rodziny dystrybucji, że iloraz wszystkich par elementów jest normalny.

A, B

$A, B$

— Neil G

1

Nie rozumiem co mówisz. Idealnie byłoby, gdyby twoja odpowiedź była spójnym argumentem bez konieczności odczytywania zmian. W tej chwili wydaje się, że twoje drugie stwierdzenie („musimy też mieć”) nie wynika z pierwszego.

— Neil G,

1

@kjetilbhalvorsen, jak należy to zmienić? Odpowiedziałem na tę część pytania, która mówi: „Byłbym szczególnie wdzięczny, gdyby dwa niezależne rozkłady, których stosunek jest obliczany, są takie same” . Nie rozumiem, jak odnosi się do tego odpowiedź faceta.

— Sextus Empiricus

2

+1: proste, jasne, eleganckie i wnikliwe.

— whuber

1

Cóż, tutaj jest jeden, ale go nie udowodnię, pokaż tylko w symulacji.

Dokonać dwóch rozkładów beta z równym dużej parametry kształtu (w tym przypadku ), odejmowanie od 1/2 -values jednego z nich i nazywają to „licznik”. To daje nam plik PDF, który ma zakres od maksymalnej $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ , ale ponieważ parametry kształtu są tak duże, nigdy nie osiągamy maksymalnych wartości zakresu. O to histogram„licznik” $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

Następnie nazywamy drugi mianownik dystrybucji beta „od mianownikiem” bez odejmowania czegokolwiek, więc ma on zwykły zakres dystrybucji beta i jeden z nich wygląda następująco $(0,1)$

Ponownie, ponieważ kształty są tak duże, nie zbliżamy się do maksymalnego zakresu wartości. Następnie narysujemy ilorazowy w formacie PDF z nałożonym rozkładem normalnym. $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Teraz w tym przypadku wynik rozkładu normalnego ma i testy normalności, które wyglądają tak $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statystyczny & Wartość p \\ Anderson-Darling & 0,799786 & 0,481181 \\ Baringhaus-Henze & 1,40585 & 0,0852017 \\ Cramér-von Mises & 0,123145 & 0,482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4,48103 & 0,106404 \\ Kołmogorow-Smirnov & 0,00452328 & 0,38635 \\ Kuiper & 0,00798063 & 0,109127 \\ Połączone Mardia & 4,48103 & 0,106404 \\ Mardia Kurtosis & 1,53849 & 0,123929 \\ Skośność Mardii & 2.09399 & 0,147879 \\ osoba χ^{2)} & 134,353 & 0,571925 \\ Watson U^{2)} & 0,131331 & 0,211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

Innymi słowy, nie możemy udowodnić, że stosunek nie jest normalny, nawet bardzo się starając.

Teraz dlaczego? Intuicja z mojej strony, którą mam w nadmiarze. Dowód pozostawiony czytelnikowi, jeśli taki istnieje (może przez limit metody chwil, ale znowu to tylko intuicja).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statystyczny & Wartość p \\ Anderson-Darling & 0,275262 & 0,955502 \\ Cramér-von Mises & 0,0351108 & 0,956524 \\ Kołmogorow-Smirnov & 0,00320936 & 0,804486 \\ Kuiper & 0,00556501 & 0,657146 \\ osoba χ^{2)} & 145,077 & 0,323168 \\ Watson U^{2)} & 0,0351042 & 0,878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statystyczny & Wartość p \\ Anderson-Darling & 0,501677 & 0,745102 \\ Cramér-von Mises & 0,0696824 & 0,753515 \\ Kołmogorow-Smirnov & 0,00355688 & 0,692225 \\ Kuiper & 0,00608382 & 0,501133 \\ osoba χ^{2)} & 142,88 & 0,370552 \\ Watson U^{2)} & 0,0603207 & 0,590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— Carl
źródło

6

Jesteś wyraźnie bardzo blisko normalnej dystrybucji. Jednak to wcale nie jest to samo, co normalny rozkład i nie sądzę, aby stosunek wyśrodkowanej symetrycznej beta do zwykłej symetrycznej beta o tych samych parametrach kiedykolwiek był normalny. Byłbym bardzo zainteresowany tym, że się mylę.

— Glen_b

3

Twoje rozwiązanie zdecydowanie nie jest normalne. Możesz uogólnić to podejście: weź dowolny rozkład, który jest w przybliżeniu Normalny i podziel go przez rozkład z prawdopodobieństwem skoncentrowanym w pobliżu liczby niezerowej. Wynik (oczywiście) będzie zbliżony do Normalnego - ale nadal nie będzie Normalny. Zastosowanie szeregu testów nie jest przekonujące, ponieważ wszystko to pokazuje, że nie wygenerowano wystarczająco dużych próbek, aby wykazać nienormalność.

— whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

Przejdźmy teraz do sedna sprawy: (1) obalenie normalności jest prostym ćwiczeniem w integralnym przybliżeniu - nie trzeba tutaj podawać szczegółów. Możesz np. Łatwo udowodnić, że 200. moment jest nieskończony. (2) Twoja odpowiedź myli rozkłady z próbkami. Sprzeciwiam się temu fundamentalnemu zamieszaniu; to jest powód, dla którego uważam, że ta odpowiedź jest bardziej myląca niż pomocna. BTW, nie napisałem lekko mojego ostatniego komentarza: wykonałem ten test. Nie zrobiłem tego z superkomputerem, ale z dziesięcioletnią stacją roboczą na PC, a cały proces zajął zaledwie kilka sekund.

— whuber

2

@whuber Pozwolę sobie na ostatni punkt. Odpowiedziałem tutaj, aby wzbudzić zainteresowanie, co zrobiłem. Bez mojego zainteresowania ta rozmowa, która była nieaktywna od 2014 r., Nadal pozostanie bez odpowiedzi. Widzę moją rolę jako pobudzanie myśli, a nie bycie doskonałym czy chodzenie po wodzie.

— Carl

-3

$X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{sol}}{X_{2)}^{sol}} = X_{γ}^{do}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{sol} = X_{2)}^{sol} / X_{1 / γ}^{do}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

$\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— chuse
źródło

4

Sprawdź swoją hipotezę, albo przez wyraźne obliczenie współczynnika, albo przez symulację. Albo pokaże, że twoje roszczenie jest nieprawidłowe. Błąd polega na założeniu, że współczynniki dystrybucji można „anulować”, aby „rozwiązać” licznik.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$