Jeśli szereg czasowy jest stacjonarny drugiego rzędu, czy oznacza to, że jest ściśle stacjonarny?

Proces jest ściśle stacjonarny, jeśli wspólny rozkład jest taki sam jak wspólny rozkład dla wszystkich , dla wszystkich i dla wszystkich . $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ $t_1,t_2,...,t_m$

Proces jest stacjonarny drugiego rzędu, jeśli jego średnia jest stała, a jego funkcja autokowariancji zależy tylko od opóźnienia.

Czy zatem stacjonarne drugie zamówienie oznacza ścisłe stacjonarne?

Również w przypadku stacjonarnego drugiego rzędu mówi, że nie przyjmuje się żadnych założeń dotyczących momentów wyższych niż te pierwszego i drugiego rzędu. Pierwszy moment odpowiada średniej, czy drugi moment odpowiada autokowariancji?

— Clarkson
źródło

Zobacz także ten post, aby uzyskać powiązaną dyskusję.

— javlacalle

To, co nazywacie (lub waszym kursem) stacjonarnym drugiego rzędu, jest często nazywane słabo stacjonarnym lub szeroko rozumianym stacjonarnym (WSS) lub stacjonarnym w szerokim tego słowa znaczeniu. Procesy WSS niekoniecznie są ściśle stacjonarne, ponieważ średnia i autokowariancja nie są na ogół wystarczające do ustalenia rozkładu. Oczywiście proces gaussowski lub normalny WSS (co oznacza, że wszystkie są normalnymi zmiennymi losowymi) jest ściśle stacjonarny, ponieważ średnia i macierz kowariancji określają rozkład połączeń.

X_{t}

$X_t$

— Dilip Sarwate

Zobacz także Przykład procesu, który jest stacjonarny drugiego rzędu, ale nie jest ściśle stacjonarny . Oba są bardzo bliskie bycia duplikatami. Pytanie to dotyczy również tego, czy drugi moment odnosi się do autokowariancji, ale tak naprawdę jest to pytanie cząstkowe i jest w każdym razie obsługiwane w wątku. Co to jest stacjonarny proces drugiego rzędu?

— Silverfish,

mathoverflow.net/questions/42141/…

— Robby McKilliam

Stacjonarność drugiego rzędu jest słabsza niż ścisła stacjonarność. Stacjonarność drugiego rzędu wymaga, aby momenty pierwszego i drugiego rzędu (średnia, wariancja i kowariancje) były stałe w czasie, a zatem nie zależały od czasu, w którym obserwowany jest proces. W szczególności, jak mówisz, kowariancja zależy tylko od kolejności opóźnień, , ale nie od czasu, w którym jest mierzona, dla wszystkich $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ . $t$

W ścisłym procesu stacjonarności, momenty wszystkich zleceń pozostają niezmienne przez cały czas, to znaczy, jak mówisz, wspólna dystrybucja jest taki sam, jak rozkład połączeń dla wszystkich $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ i . $t1,t2,...,tm$ $k$

Dlatego ścisła stacjonarność obejmuje stacjonarność drugiego rzędu, ale odwrotność nie jest prawdą.

Edytuj (edytowane jako odpowiedź na komentarz @ whuber)

Poprzednie oświadczenie jest ogólnym zrozumieniem słabej i silnej stacjonarności. Chociaż idea, że stacjonarność w słabym sensie nie implikuje stacjonarności w silniejszym sensie, może być zgodna z intuicją, ale może nie być tak łatwo udowodnić, jak zauważył whuber w komentarzu poniżej. Pomocne może być zilustrowanie tego pomysłu, jak zasugerowano w tym komentarzu.

Jak możemy zdefiniować proces, który jest stacjonarny drugiego rzędu (średnia, wariancja i stała kowariancji w czasie), ale nie jest stacjonarny w ścisłym znaczeniu (momenty wyższego rzędu zależą od czasu)?

Jak sugeruje @whuber (jeśli dobrze zrozumiałem), możemy łączyć partie obserwacji pochodzących z różnych rozkładów. Musimy tylko uważać, aby te rozkłady miały tę samą średnią i wariancję (w tym miejscu rozważmy, że są one próbkowane niezależnie od siebie). Z jednej strony możemy na przykład generować obserwacje z rozkładu Studenta z stopniami swobody. Średnia jest zero i wariancji . Na innej strony, możemy rozkład Gaussa o zerowej średniej i wariancji . $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

Oba rozkłady dzielić tę samą średnicę (zero) i wariancji ( ). Zatem konkatenacja wartości losowych z tego rozkładu będzie co najmniej stacjonarna drugiego rzędu. Jednak kurtoza w punktach podlegających rozkładowi Gaussa będzie wynosić , podczas gdy w punktach czasowych, w których dane pochodzą z rozkładu Studenta, będzie to . Dlatego dane generowane w ten sposób nie są stacjonarne w ścisłym znaczeniu, ponieważ momenty czwartego rzędu nie są stałe. $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

Kowariancje są również stałe i równe zeru, ponieważ rozważaliśmy niezależne obserwacje. Może się to wydawać trywialne, więc możemy stworzyć pewną zależność między obserwacjami według następującego modelu autoregresji.

y_{t} = ϕ y_{t - 1} + ϵ_{t}, | ϕ | < 1, t = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ϵ_{t} \sim {\begin{cases} N (0, σ^{2} = 5 / 3) & if t \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ t_{5} & if t \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

zapewnia spełnienie stacjonarności drugiego rzędu. $|\phi| < 1$

Możemy symulować niektóre z tych serii w oprogramowaniu R i sprawdzać, czy średnia próbki, wariancja, kowariancja pierwszego rzędu i kurtoza pozostają stałe w partiach obserwacji (poniższy kod używa i wielkość próbki , rysunek pokazuje jedna z serii symulowanych): $20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

Wyniki nie są zgodne z oczekiwaniami:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
źródło

Chociaż masz rację, nie wykazałeś odpowiednio ostatecznego wniosku. (Wydaje się, że zakładasz, że wyższe momenty procesu stacjonarnego drugiego rzędu można przypisać niezależnie od jego pierwszych dwóch momentów, ale to - choć częściowo prawdziwe - nie jest oczywiste.) Najsilniejszym sposobem wykazania twojego wniosku byłby aby pokazać proces, który jest stacjonarny drugiego rzędu, ale nie stacjonarny. Chociaż łatwo to zrobić z odpowiednią sekwencją niezależnych zmiennych losowych, interesujące byłoby dostarczenie przykładu nie znikających korelacji przy wszystkich opóźnieniach.

— whuber

@ whuber Zredagowałem swoją odpowiedź. Myślałem, że rozumiem twój punkt widzenia, ale moja próba realizacji twojego pomysłu nie była w pełni satysfakcjonująca.

— javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

Nie zamówiłbym ścisłej stacjonarności i kowariancji - stacjonarności (chociaż użycie terminu „słaby” również w przypadku tego drugiego wskazuje niestety na takie uporządkowanie). Powodem jest to, że ścisła stacjonarność nie implikuje kowariancji-stacjonarności: proces może być ściśle stacjonarny, ale momenty dystrybucji mogą nie istnieć lub być nieskończone, w którym to przypadku ten ściśle stacjonarny proces nie jest kowariancyjno-stacjonarny.

— Alecos Papadopoulos

Nie możemy bezpośrednio symulować nieistnienia momentów . Stwórz proces Cauchy'ego ściśle stacjonarny, aby wziąć prosty przykład. Wykres będzie wyglądał idealnie „stacjonarnie”, ponieważ zachowanie procesu jest powtarzalne, a zachowanie zależy od momentów , w których istnieją . Jeśli nie istnieją, zachowanie jest opisane i zależy od innych cech rozkładu.

— Alecos Papadopoulos

Ponieważ nie mogę komentować i mam cenne zastrzeżenie do odpowiedzi @javlacalle , jestem zmuszony dołączyć tę osobną odpowiedź:

@javlacalle to napisał

ścisła stacjonarność obejmuje stacjonarność drugiego rzędu, ale odwrotność nie jest prawdą.

Jednak silna stacjonarność nie oznacza słabej stacjonarności. Powodem jest to, że silna stacjonarność nie oznacza, że proces musi koniecznie mieć skończony drugi moment. Na przykład proces iid ze standardowym rozkładem Cauchy'ego jest ściśle stacjonarny, ale nie ma skończonego drugiego momentu. Rzeczywiście, posiadanie skończonego drugiego momentu jest koniecznym i wystarczającym warunkiem słabej stacjonarności silnie stacjonarnego procesu.

Odniesienie: Myers, DE, 1989. Być albo nie być. . . nieruchomy? Oto jest pytanie. Matematyka Geol. 21, 347–362.

— ShayPal5
źródło