Dyskretna jednolita zmienna losowa (?) Przyjmująca wszystkie wartości wymierne w zamkniętym przedziale

Właśnie miałem (intelektualny) atak paniki.

• Ciągła zmienna losowa, która następuje po mundurze w zamkniętym przedziale : wygodnie znana koncepcja statystyczna. $U(a,b)$
• Ciągły jednolity rv mający wsparcie nad rozszerzonymi rzeczywistymi (połową lub całością): nie odpowiedni rv, ale podstawowa koncepcja bayesowska na niewłaściwe wcześniejsze, użyteczne i możliwe do zastosowania.
• Dyskretny mundur przyjmujący skończoną liczbę wartości: rzućmy kopułę geodezyjną, nic wielkiego.

Ale co z funkcją, która ma w swojej domenie wszystkie racjonalności, które są zawarte w zamkniętym przedziale z granicami całkowitymi (zacznij od jeśli chcesz)? Czy chcemy używać go w ramach probabilistycznych, wymagając, aby każda możliwa wartość miała takie samo prawdopodobieństwo jak wszystkie pozostałe?$[0,1]$

Liczba możliwych wartości jest nieskończenie liczna (co charakteryzuje wiele dyskretnych rozkładów), ale jak wyrazić prawdopodobieństwo pojedynczej wartości, biorąc pod uwagę, że chcemy, aby prawdopodobieństwa były równe?

Czy możemy powiedzieć-pokazać-udowodnić, że taki byt jest (nie jest) zmienną losową?

Jeśli nie, to czy to kolejne wcielenie (być może już dobrze znane) „niewłaściwego przeora”?

Czy jest możliwe, że ten byt jest w jakimś ściśle określonym sensie, choć szczególnym, „równoważny” ciągłemu jednorodnemu rv? Czy popełniłem właśnie grzech główny (ity)?

Wygląda na to, że fakt, że domena jest zamkniętym przedziałem, nie pozwala mi odejść. Ograniczone rzeczy są zazwyczaj możliwe do zarządzania.

Jest wiele pytań, które mają wskazywać na wewnętrzny wir - nie proszę o odpowiedź na każde z nich.

W dowolnym momencie, gdy będę mógł przedstawić jakieś spostrzeżenia, zaktualizuję.

AKTUALIZACJA: obecne pytanie nabrało tutaj konstruktywistyczną kontynuację .

Ta „losowa zmienna” jest podobna do idei posiadania płaskiego poprzedzającego na całej linii rzeczywistej (twój drugi przykład).

Aby pokazać, że nie może istnieć żadna zmienna losowa taka że P ( X = q ) = c dla wszystkich q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] i stała c , używamy dodatkowej właściwości zmiennych losowych σ: zliczalna suma zdarzenia rozłączne mają prawdopodobieństwo równe (być może nieskończonej) sumie prawdopodobieństw zdarzeń. Zatem jeśli c = 0 , prawdopodobieństwo P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , ponieważ jest to suma policzalnie wielu zer. Jeśli c > 0 , to P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Jednak właściwa zmienna losowa przyjmująca wartości w Q ∩ [ 0 , 1 ] musi być taka, że P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , więc nie ma takiej zmiennej losowej.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

Kluczem tutaj jest, jak być może już wiesz, że jeśli przestrzeń składa się z skończonej liczby punktów, możemy użyć i nie mamy problemu z sumą, a jeśli przestrzeń ma niezliczoną liczbę punktów, możesz mieć c = 0, a integralność σ nie jest naruszana podczas całkowania w przestrzeni, ponieważ jest to stwierdzenie o rzeczach policzalnych . Masz jednak problemy, gdy chcesz równomiernego rozkładu w niezliczonej liczbie zestawów.$c>0$$c=0$$\sigma$

$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$


$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$
$\mu$

AKTUALIZACJA: Natychmiast uzyskuje się miarę racjonalności interwału jednostkowego, która jest jednolita w tym sensie, biorąc pod uwagę miarę przesunięcia do przodu tej racjonalności, którą zbudowaliśmy, wzdłuż mapy od racjonalności do racjonalności interwału jednostkowego, która odwzorowuje każdy racjonalny do części ułamkowej.
Dlatego po złagodzeniu wymogu skończonej addytywności uzyskuje się takie środki w obu wspomnianych przypadkach.