Które filtry IIR zbliżają się do filtra Gaussa?

Niedawno przyszło mi do głowy, że filtry Bessela, pomimo tego, że są wymienione razem z innymi popularnymi typami, są naprawdę dziwną kulą, która należy do innej „klasy” i staram się dowiedzieć o tym więcej.

Prostokątna odpowiedź amplitudowa reprezentuje idealną odpowiedź w dziedzinie częstotliwości, ponieważ pasmo przejściowe wynosi zero, a pasmo stop ma nieskończone tłumienie. Z drugiej strony, odpowiedź wielkości Gaussa reprezentuje idealną odpowiedź w dziedzinie czasu, w której nie występują przekroczenia w odpowiedzi impulsowej i reakcji skokowej. Wiele odpowiedzi uzyskanych w praktyce jest przybliżeniem do tych idealnych ^źródeł

Tak więc filtr brickwall jest splotem z funkcją sinc i ma następujące właściwości w dziedzinie częstotliwości:

• Płaski pasmo przepustowe
• Zero stopband
• Nieskończona szybkość zejścia / brak pasma przejściowego

Jest bez przyczynowy i nierealny ze względu na nieskończone ogony w obu kierunkach. Są one aproksymowane przez te filtry IIR, przy czym aproksymacja poprawia się wraz ze wzrostem kolejności:

• Butterworth (maksymalnie płaski pasmo)
• Czebyshev (maksymalna szybkość wycofywania ze stoperem lub tętnieniem pasma)
• Eliptyczny (maksymalna szybkość rozwijania z pasmem zatrzymania i tętnieniem pasma)
• Legendre (maksymalna szybkość rozwijania z monotonicznym pasmem przepustowym)

Filtr Gaussa jest splatanie z funkcją Gaussa, i ma te właściwości w dziedzinie czasu:

• Zero przeregulowania
• Minimalny czas narastania i opadania
• Minimalne opóźnienie grupy

Jest nierealny z tych samych powodów, co funkcja sinc, i może być aproksymowany przez te filtry IIR, ściślej ze wzrostem kolejności:

• Bessel (maksymalnie płaskie opóźnienie grupy) ^{według 1 i 2}

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

Więc moje pytania to:

Czy na razie wszystko jest w porządku? Jeśli tak, to czy istnieją inne filtry IIR zbliżone do Gaussa? Do czego są zoptymalizowane? Może taki, który minimalizuje przekroczenie?

Jeśli wyszukujesz „IIR Gaussian”, możesz znaleźć kilka rzeczy (Deriche? Van Vliet?), Ale nie wiem, czy tak naprawdę są takie same jak Bessel, czy czy optymalizują pod kątem innych właściwości itp.

W Deriche i van Vliet są filtry heurystyczne. W obu przypadkach wybierają lokalizację biegunów i zer, aby zminimalizować różnicę RMS lub maksymalną różnicę odpowiedzi impulsowej filtra od Gaussa.

Oba filtry to pary przyczynowo-przeciwdziałające przyczynom. Myślę więc, że nie mają błędu fazy ani opóźnienia grupowego, ale musisz być w stanie uruchomić je zarówno w danych, jak i w przód. To czyni je popularnymi w przetwarzaniu obrazów, ale być może ogranicza ich zastosowanie w innych miejscach.

O tym, że są heurystami, świadczy bogactwo papierów, które je modyfikują. Na przykład wyszukiwarka google (podczas gdy szukałam linku do artykułu Deriche'a) znalazła ten, który próbuje rozwiązać problem polegający na tym, że filtr pochodnej gaussowskiej Deriche nie ma dokładnie 0 odpowiedzi DC. Istnieje również kilka interesujących kwestii dotyczących prawidłowego inicjowania warunków brzegowych .

Znalazłem następujący przegląd dobrym źródłem: Dave Hale, rekurencyjne filtry gaussowskie , raport Colorado School of Mines Center for Wave Phenomena CWP-546.

Myślę, że dobrze przedstawiłeś istniejące rozwiązania analityczne dla filtrów IIR z dyskretnym czasem. Dodałbym również filtry Bessela do listy filtrów zbliżonych do idealnych charakterystyk filtrów selektywnych częstotliwościowo. Jego odpowiedź wielkościowa nie wykazuje tak ostrego przejścia jak inne typy filtrów tego samego zamówienia, ale jest to cena, którą płacisz za prawie liniową fazę w paśmie pasmowym. Zatem filtr Bessela stanowi kompromis między selektywną odpowiedzią wielkościową a dobrą odpowiedzią fazową.

Dla przybliżenia filtra Gaussa za pomocą filtrów IIR, nie znam żadnych rozwiązań analitycznych, oprócz wspomnianego filtra Bessela. Ale zauważ, że filtr Bessela nie miał na celu przybliżenia filtra Gaussa, więc nie jestem pewien, jak dobrze jest on w przybliżeniu takiego filtra. Jeśli naprawdę potrzebujesz do tego celu filtra IIR, sugeruję skorzystanie z aproksymacji numerycznej filtra Gaussa. Istnieje kilka opcji, jak to zrobić.

Możesz spróbować zbliżyć filtr Gaussa w dziedzinie częstotliwości. Problem polega na tym, że musisz podjąć decyzję dotyczącą pożądanej reakcji fazy. Przybliżenie wielkości bezwzględnej przy minimalnej odpowiedzi fazowej najprawdopodobniej spowoduje bardzo słabe właściwości w dziedzinie czasu. Jeśli określisz liniową pożądaną fazę, wówczas otrzymasz złożony problem aproksymacji (ponieważ przybliżasz złożoną charakterystykę częstotliwościową wielkością i fazą). Choć problem przybliżenia może być trudny do rozwiązania, w literaturze istnieją metody.

Prostszym i prawdopodobnie lepszym podejściem jest zbliżenie filtra Gaussa w dziedzinie czasu. Metoda Prony'ego byłaby dobrym punktem wyjścia.

Pamiętaj, że to tylko moje przemyślenia na ten temat. Sam nie próbowałem zaprojektować filtra Gaussa IIR. Właściwie wybrałbym implementację FIR, chyba że istnieją ku temu bardzo dobre powody.

EDYCJA: jeszcze kilka uwag dotyczących pytania, czy filtr Bessela jest zbliżony do Gaussa, czy nie. Nie znam żadnego istotnego kryterium błędu, które minimalizuje filtr Bessela w przybliżeniu filtra Gaussa. Z chęcią się o tym dowiem. Ludzie mogą twierdzić, że odpowiedź impulsowa filtra Bessela wygląda podobnie do gaussowskiego lub że jego odpowiedź częstotliwościowa przypomina gaussowskiego, ale nie widziałem jeszcze żadnego dowodu, że filtry Bessela w jakimkolwiek sensie zbliżają się do gaussowskiego i że błąd aproksymacji sięga zero w miarę wzrostu kolejności filtrów. Nie przeczę, że jest bardziej podobny do Gaussa niż inne standardowe filtry (Butterworth, Czebyszew itp.), Ale nie jest to ważne w przypadku tego pytania.

Zobacz poniżej cztery wykresy odpowiedzi impulsowej filtrów Bessela (rzędy 5, 10, 15, 20), zaprojektowane w Octave (funkcja sama w sobie). Jak widać, dzwonienie w ogonie nie zmniejsza się wraz ze wzrostem kolejności filtrów, i nie widzę, jak filtry te przybliżają Gaussa, a jeśli tak, zgodnie z jakim kryterium optymalności. Gdyby jednak ktoś mógł mnie o tym oświecić, byłbym bardziej niż szczęśliwy.