Filtr FIR z fazą liniową, 4 typy

Wiem, że istnieją 4 rodzaje filtrów FIR z fazą liniową, tj. Stałe opóźnienie grupy: (M = długość odpowiedzi impulsowej)

1. Reakcja impulsowa symetryczna, M = nieparzysta

2. Chochlik. odpowiednio symetryczny, M = parzysty

3. Chochlik. odpowiednio antysymetryczny, M = nieparzysty

4. Chochlik. odpowiednio antysymetryczny, M = parzysty

każdy z jego cechami. Który z tych typów jest najczęściej stosowany w filtrze FIR z liniową fazą i dlaczego? :)

Wybierając jeden z tych 4 rodzajów filtrów fazy liniowej, należy wziąć pod uwagę przede wszystkim 3 rzeczy:

1. ograniczenia na zerach $H(z)$ przy $z=1$ i$z=-1$

2. opóźnienie grupy całkowitej / niecałkowitej

3. przesunięcie fazowe (oprócz fazy liniowej)

W przypadku filtrów typu I (nieparzysta liczba zaczepów, parzysta symetria) zer nie ma żadnych ograniczeń przy i , przesunięcie fazowe wynosi zero (oprócz fazy liniowej), a opóźnienie grupy jest liczbą całkowitą wartość.$z=1$$z=-1$

Filtry typu II (parzysta liczba zaczepów, parzysta symetria) zawsze mają zero przy (tj. Połowa częstotliwości próbkowania), mają zerowe przesunięcie fazowe i mają opóźnienie grupy niecałkowitej.$z=-1$

Filtry typu III (nieparzysta liczba uderzeń, nieparzysta symetria) zawsze mają zera przy i (tj. Przy i f = f s / 2 ), mają przesunięcie fazowe o 90 stopni i liczbę całkowitą opóźnienie grupy.z = - 1 f = $z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Filtry typu IV (parzysta liczba uderzeń, nieparzysta symetria) zawsze mają zero przy , przesunięcie fazowe o 90 stopni i opóźnienie grupy niecałkowitej.$z=1$

Oznacza to (między innymi), co następuje:

• Filtry typu I są dość uniwersalne, ale nie można ich stosować, gdy konieczne jest przesunięcie fazowe o 90 stopni, np. W przypadku dyferencjałów lub transformatorów Hilberta.

• Filtry typu II zwykle nie są stosowane do górnoprzepustowy lub stopu zespół filtrów ze względu na zero w , czyli na F = F y / 2 . Nie można ich również stosować w aplikacjach, w których konieczne jest przesunięcie fazowe o 90 stopni.$z=-1$$f=f_s/2$

• Filtry typu III nie mogą być stosowane w standardowych filtrach selektywnych częstotliwości, ponieważ w tych przypadkach przesunięcie fazowe o 90 stopni jest zwykle niepożądane. W przypadku transformatorów Hilberta filtry typu III mają względnie złe przybliżenie wielkości przy bardzo niskich i bardzo wysokich częstotliwościach ze względu na zera przy i z = - 1 . Z drugiej strony transformator Hilberta typu III można zaimplementować wydajniej niż transformator Hilberta typu IV, ponieważ w tym przypadku co drugi zaczep jest zerowy.$z=1$$z=-1$

• Filtry typu IV nie mogą być stosowane w standardowych filtrach selektywnych z tych samych powodów, co filtry typu III. Są dobrze przystosowane do dyferencjałów i transformatorów Hilberta, a ich przybliżenie wielkości jest zwykle lepsze, ponieważ w przeciwieństwie do filtrów typu III nie mają zera przy .$z=-1$

• W niektórych aplikacjach pożądane jest opóźnienie grupy całkowitej. W takich przypadkach preferowane są filtry typu I lub typu III.

Wszystkie filtry z antysymetryczną odpowiedzią impulsową mają zero przy (tj. Częstotliwość 0). Jeśli więc musisz wdrożyć filtr górnoprzepustowy lub filtr podobny do pochodnej (lub nawet pasmowoprzepustowy), musisz wybrać typy 3 i 4.$z=1$

Podobnie, jeśli twój filtr jest typem dolnoprzepustowym, zastosowanie mają typy 1 i 2.

Zależy to zatem od typu filtra, który należy zaprojektować, a nie od tego, który jest bardziej powszechny.

Istnieje również różnica między typami 1 i 3 vs. 2 i 4 pod względem odpowiedzi fazowej. Pomiędzy tymi dwoma typami będzie dodatkowa . Nawet jeśli nie przejmujesz się wprowadzonym opóźnieniem, ta różnica połowy próbki może być ważna z punktu widzenia zbieżności w niektórych przypadkach filtrów górnoprzepustowych (dodatkowa faza może sprawić, że twoje pasmo przenoszenia będzie ciągłe przy θ = π , zapewniając w ten sposób znacznie szybsza konwergencja i potrzeba mniejszej liczby współczynników).$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

Pod względem implementacji wszystkie 4 typy można efektywnie zaimplementować bez dwukrotnego powtarzania tych samych współczynników.

Potrzebujesz oczywiście całej linii opóźniającej wielkości M. Ale zamiast pomnożyć każde z wyjść zaczepu przez własny współczynnik, najpierw dodajesz (lub odejmuje) dwa odpowiadające wyjścia, a następnie mnożymy tylko raz przez współczynnik.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Ponieważ są już dwie bardzo ładne odpowiedzi, podam kilka bardzo podstawowych przykładów, na podstawie których właściwości podane w innych odpowiedziach można porównać z rozsądkiem. Zero lokalizacji i odpowiedzi fazowe są bezpośrednio dostępne.

symetryczny, M = nieparzysty

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

symetryczny, M = parzysty

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

antisymmetrical, M=odd (according to [1], $h[N/2] = 0$ w tym przypadku)

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antysymetryczny, M = parzysty

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] dobry referencyjny mitrappt