Próbkowanie funkcji Diraca

9

Chciałbym zadać teoretyczne pytanie dotyczące funkcji Diraca. Transformacja Fouriera funkcji Diraca jest wartością 1 (DC) dla każdej częstotliwości. Jeśli weźmiemy pod uwagę twierdzenie o próbkowaniu, musimy znaleźć maksymalną częstotliwość w sygnale , abyśmy mogli próbkować z . Ale jak widać z transformacji Fouriera, funkcja Diraca zawiera każdą częstotliwość, więc nie możemy znaleźć odpowiedniego . Moje pytanie brzmi: z teoretycznego punktu widzenia można próbkować funkcję Diraca? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Edycja: Dziękujemy za pomocne odpowiedzi!

sampling

— George Tseres
źródło

1

W cyfrowej krainie sekwencja x [n] = (1, n = 0) (0, w przeciwnym razie) wykonuje większość zadań, które wykonuje dystrybucja diraca w świecie analogowym. Jest to podstawowa funkcja splotu, ma płaską charakterystykę częstotliwościową i jest odpowiedzią impulsową „drutu”. W rzeczywistości jest to jedna rzecz, która jest łatwiejsza w wersji cyfrowej

— Hilmar

osobiście uważam, że bardziej zwięzłą odpowiedzią jest: „Nie, impulsu diraca, , nie można próbkować przy ponieważ nie ma wartości, którą funkcja (lub rozkład) przyjmuje przy ”. $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ w świecie fizycznym nie ma funkcji delta diraca, jedynie jej przybliżenia. więc nie ma nic do próbkowania.

— robert bristow-johnson

7

Można próbkować dowolny sygnał , niezależnie od tego, czy twierdzenie o próbkowaniu ma, czy nie. Twierdzenie o próbkowaniu mówi, że jeśli częstotliwość próbkowania jest wystarczająca, wówczas próbki reprezentują kompletny oryginalny sygnał.

Sygnały z nieciągłościami lub, co gorsza, rozkłady takie jak , nie są ograniczone przez pasmo, więc hipoteza twierdzenia o próbach nigdy się nie potwierdzi. $\delta(t)$

Należy również zauważyć, że zwykłe wykazanie twierdzenia o próbkowaniu polega na pomnożeniu sygnału przez ciąg impulsów. Sądzę, że wyklucza to sygnały będące dystrybucjami, ponieważ produkty dystrybucji nie są dobrze zdefiniowane .

W praktyce wyobraź sobie próbkowanie przy . Ta próbka ma niezdefiniowaną wartość. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
źródło

„Można próbkować dowolny sygnał” - cóż, algorytm próbkowania można zastosować do dowolnego sygnału , tak, ale w rzeczywistości nazywając ten proces „próbkowaniem” może, zależnie od kontekstu, już zapewnić, że spodziewasz się, że będziesz w stanie zrekonstruować sygnał z wynik, tj. spełnione są warunki wstępne dla twierdzenia o próbkowaniu.

— lewo około

8

Całkowicie zgadzam się z odpowiedzią Juancho. Chciałbym tylko dodać kilka rzeczy. Myślę, że głównym problemem jest nieporozumienie, które ujawnia się w ostatnim zdaniu pytania: „... czy można pobrać próbkę z funkcji Diraca?” Impuls Diraca NIE jest zwykłą funkcją mającą określone wartości dla każdego , ale jest rozkładem (chociaż często nazywany jest „funkcją Diraca”). Dlatego nie należy próbować go „oceniać” (lub próbkować!). W impulsie Diraca ważne są jego integralne właściwości: $t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) re t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$ i

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) fa (t) re t = fa (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

Jak już wskazał Juancho, kwadrat impulsu Diraca nie jest zdefiniowany. Więc jeśli spróbujesz impulsu Diraca, uzyskasz niezdefiniowany wynik $\delta^2(t)$

\sum_{n} δ (t - n T.) δ (t) = δ^{2)} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Impulsy Diraca są wygodnym narzędziem do analizy liniowych systemów niezmienniczych w czasie, ale należy z nimi postępować ostrożnie, ponieważ typowe rodzaje przetwarzania wykonywane na zwykłych sygnałach (takie jak próbkowanie) mogą prowadzić do nieokreślonych i pozbawionych znaczenia wyników, gdy zostaną zastosowane do impulsów Diraca.

— Matt L.
źródło

2

Informacje przenoszone przez Diraca to jego lokalizacja i intensywność. Vetterli i in. pokaż, jak można próbkować sygnał podany przez sumę N diraców:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

Próbowanie $x(t)$ w tym kontekście oznacza powrót do zdrowia $r_i$ i $t_i$ dla $i=0,\ldots,N-1$ . Krótko mówiąc, odbywa się to przez filtrowanie dolnoprzepustowe $x(t)$ i stosując standardowe techniki estymacji widmowej. Aby uzyskać więcej informacji zobacz:

Blu, Thierry i in. „Rzadkie próbkowanie innowacji sygnałowych”. Magazyn przetwarzania sygnałów, IEEE 25.2 (2008): 31–40.

— Arrigo
źródło