Wariancja białego szumu gaussowskiego

To może wydawać się łatwe pytanie i bez wątpienia tak, ale staram się obliczyć wariancję białego szumu gaussowskiego bez żadnego rezultatu.

Gęstość widmowa mocy (PSD) addytywnego białego szumu Gaussa (AWGN) wynosi podczas gdy autokorelacja wynosi $\frac{N_0}{2}$ , więc wariancja jest nieskończona? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
źródło

Czy hałas nie jest wariantem napięcia szumu? Można również zapytać o wariancję (lub odchylenie standardowe) mocy mierzonej w określonym przedziale czasu. Myślę, że centralne twierdzenie graniczne opisuje związek między czasem trwania czasu pomiaru a wariancją wyników.

Odpowiedzi:

Biały szum gaussowski w przypadku ciągłego czasu nie jest tym, co nazywa się procesem drugiego rzędu (co oznacza, że jest skończony), a więc tak, wariancja jest nieskończona. Na szczęście nigdy nie możemy zaobserwować procesu białego szumu (gaussowskiego lub nie) w przyrodzie; można to zaobserwować tylko za pomocą pewnego rodzaju urządzenia, np. (liniowego (stabilnego w BIBO)) filtra liniowego z funkcją przenoszenia w którym to przypadku otrzymujesz stacjonarny proces Gaussa o gęstości widmowej mocy $E[X^2(t)]$ $H(f)$ i skończona wariancja $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2)} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{N.}_{0}}{2)} | H. (fa) |^{2)} re fa .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Więcej niż to, co prawdopodobnie chcesz wiedzieć o białym szumie Gaussa, można znaleźć w załączniku do mojej notatki z wykładu .

— Dilip Sarwate
źródło

Ciekawe dla mnie jest to, że parametr

, który jest używany jako „wariancja” rozkładu Gaussa dla

nie jest wariancją sekwencji. Jak mówisz, dzieje się tak, ponieważ

jest nieskończony. Dzięki za jasne wyjaśnienie!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK. Istnieje różnica między pojęciami białego szumu Gaussa dla czasu dyskretnego i czasu ciągłego. Jeśli proces o czasie dyskretnym jest uważany za próbki z procesu o czasie ciągłym, to biorąc pod uwagę, że próbnik jest urządzeniem o skończonej szerokości pasma, otrzymujemy sekwencję niezależnych losowych zmiennych Gaussa o wspólnej wariancji

co jest tym, co masz w swojej odpowiedzi. Jeśli twoje

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

gdzie

jest AWGN PO, to

Y [n] = \int_{(n - 1) T.}^{n T.} X (t) re t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

, a nie

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

jak masz (chyba że

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Przeczytałem twój interesujący dodatek. Ale mówisz: „Nie należy jednak wnioskować, że zmienne losowe w procesie WGN same są zmiennymi losowymi Gaussa”. Nie do końca to zrozumiałem. Jeśli zmienne losowe nie są gaussowskie (i wydaje mi się to rozsądne, ponieważ mają nieskończoną wariancję), dlaczego proces nazywa się gaussowski?

— Surfer na jesieni

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$ i jest określony przez to, co produkuje na wyjściu filtra liniowego, a nie przez cokolwiek innego.

— Dilip Sarwate

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & mi [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} mi [x [t]^{2)}], ja fa τ = 0 \\ 0, o t h mi r w ja s mi \end{matrix} \\ = & σ^{2)} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$ .

— Peter K.
źródło

Tak, chyba że weźmiesz pod uwagę, że nieskończona moc jest trudna do zdobycia w czasach wielkiego wybuchu. Właściwie wszystkie procesy białego szumu kończą się fizyczną implementacją, która ma pojemność, a zatem ogranicza efektywną szerokość pasma. Rozważ (uzasadnione) argumenty prowadzące do hałasu Johnsona R. Wytworzyłyby one nieskończoną energię; z wyjątkiem tego, że implementacja zawsze ma ograniczenia przepustowości. Podobna sytuacja ma miejsce na przeciwległym końcu: szum 1 / F. Tak, niektóre procesy bardzo dobrze pasują do hałasu 1 / f przez długi czas; Zmierzyłem je. Ale ostatecznie jesteście ograniczeni przez prawa fizyczne.

— rrogers
źródło