Jak uzyskać stacjonarny predyktor filtra Kalmana?

W rozdziale dotyczącym filtrów Kalmana moja książka DSP stwierdza, pozornie nieoczekiwanie, że stacjonarny filtr Kalmana dla systemu

{\begin{cases} x (t + 1) & = ZA x (t) + w (t) \\ y (t) & = do x (t) + v (t) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

ma predyktor

\hat{x} (t + 1 | t) = (ZA - ZA \bar{K.} do) \hat{x} (t | t - 1) + ZA \bar{K.} y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

oraz kowariancja wektora stanu stacjonarnego i wzmocnienie Kalmana

\bar{P.} = ZA \bar{P.} {ZA}^{T.} - ZA \bar{P.} {do}^{T.} (do \bar{P.} {do}^{T.} + R)^{- 1} do \bar{P.} {ZA}^{T.} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{K.} = \bar{P.} {do}^{T.} (do \bar{P.} {do}^{T.} + R)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

gdzie i oznaczają odpowiednio kowariancje szumu wejściowego i szumu pomiarowego . $Q$ $R$ $w$ $v$

Nie widzę, jak dojść do tego na podstawie predyktora minimalnej wariancji. Czy ktoś może mi to wytłumaczyć lub wskazać źródło, które wywodzi to wyrażenie? Jest to filtr o minimalnej wariancji czasu wariant, które mogą pochodzić:

\hat{x} (t + 1 | t) = (ZA - K. (t) do) \hat{x} (t | t - 1) + K. (t) y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

P. (t + 1 | t) = ZA (P. (t | t - 1) - P. (t | t - 1) {do}^{T.} (do P. (t | t - 1) {do}^{T.} + R)^{- 1} do P. (t | t - 1)) {ZA}^{T.} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

K. (t) = ZA P. (t | t - 1) {do}^{T.} (do P. (t | t - 1) {do}^{T.} + R)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

Po prostu nie jestem pewien, jak przejść stąd do stacjonarnego filtra powyżej.

Aktualizacja: Widzę, że podstawienie i w filtrze wariantu czasowego powoduje filtr stacjonarny, ale dlaczego pomnożyć przez ? Czy to tylko symptom niefortunnego wyboru notacji, co oznacza, że lub tak naprawdę nie oznacza wzmocnienia Kalmana? $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters

— Andreas
źródło

Nie, nie można „zobaczyć” predyktora z równań układu. Myślę, że byłoby lepiej, gdybyś przeczytał książkę o filtrach Kalmana zamiast poprosić nas o jej wyciągnięcie (co byłoby po prostu zwrotem czegoś z podręcznika). Optymalne filtrowanie przez Andersona i Moore'a może być dobrym miejscem do rozpoczęcia. Pochodzi z rozdziału 5, jeśli dobrze pamiętam.

— Lorem Ipsum,

@yoda: Dzięki. Moje pytanie dotyczyło tego, czy ktoś mógłby wskazać mi lepszy zasób niż podręcznik, który poleca mój kurs, więc to odpowiedź.

— Andreas

@yoda: Nawiasem mówiąc, na wypadek, gdybym był niejasny: nie proszę o wyprowadzenie z systemu przestrzeni stanów, ale z minimalnego wariantu filtra Kalmana. Zaktualizowałem pytanie, aby wyjaśnić, że mogę uzyskać niezmienny w czasie filtr Kalmana, ale nie stacjonarny.

— Andreas

Z jakiego tekstu otrzymujesz powyższe? Jeśli ktoś ma do niego dostęp, może być przydatny, abyśmy mogli zobaczyć pełny kontekst.

— Jason R

Twoje pochodne są poprawne.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

Czy to twoje zamieszanie:

$t|t-1$
Jak może to być „stacjonarne”, skoro twoje pochodzenie pokazuje, że zmienia się czas?

Zły wybór na zapisie w książce części

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$ jest funkcją samą w sobie, pokazuje związek rekurencyjny. Innymi słowy, wykorzystuje swoje poprzednie wartości. Tak więc NIE jest taki sam dla wszystkich chwil - zmienia się przy każdej iteracji.

Niezrozumienie słowa „stacjonarne”.

$P$ $K$ $\bar P$ i $\bar K$ jeszcze raz. Zależą tylko od \

Poprzednie wartości samych siebie
Macierze przejścia $A$ i $C$ które są deterministyczne i w twoim przypadku niezmienne w czasie ( $A$ i $C$ są zawsze takie same)
$Q$ i $R$ które są macierzami kowariancji hałasu. Te 2 macierze opisują statystyki dźwięków i są takie same we wszystkich realizacjach i instancjach czasowych.

Zysk Kalmana, $K$ oraz macierz kowariancji stanu $P$ będzie miał tę samą wartość dla wszystkich realizacji tego losowego procesu. ( Uwaga dodatkowa: Żaden z tych 2 terminów nie zależy od pomiarów, $y$ . Aby mogły zostać obliczone wcześniej. )

Wniosek:

Wyprowadzone równania „wariantu czasowego” były równoważne z tymi w książce. Poza różnicami notacyjnymi z twojej strony było pewne nieporozumienie dotyczące tego, jakie zmiany, a co nie.

— ssk08
źródło

Nie pamiętam, jaki miałem problem, kiedy zadałem to pytanie, ale teraz ma to sens. Dzięki!

— Andreas,

Nie do końca to rozumiem. Jak wyglądałyby wówczas równania niestacjonarnego filtra Kalmana?

— Sandu Ursu,