Objaśnienie PSD (gęstość widmowa mocy)

Próbuję zrozumieć, w jaki sposób obliczany jest PSD. Przejrzałem kilka moich podręczników inżynierii komunikacji, ale bezskutecznie. Też szukałem online. Wikipedia wydaje się mieć najlepsze wytłumaczenie; jednak gubię się w części, w której decydują się na CDF (Cumulative Distrubution Function), a następnie z jakiegoś powodu decydują się powiązać to z funkcją autokorelacji.

Chyba nie rozumiem, w jaki sposób autokorelacja ma coś wspólnego z obliczaniem PSD? Myślałbym, że PSD jest po prostu transformatą Fouriera (gdzie jest potęgą sygnału w odniesieniu do czasu). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— użytkownik968243
źródło

Jak definiujesz ?

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Tak naprawdę nie definiuję tego jako niczego. To tylko jakiś sygnał mocy. Myślę, że gdybym musiał to zdefiniować, byłoby to ... Chyba chodzi o to, że PSD nie jest i ma to coś wspólnego z autokorelacją, a ja nie rozumiem, co ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Tak naprawdę nie można tak zdefiniować mocy dla dowolnych sygnałów. Nie ma koncepcji napięcia i prądu. Moc w tym przypadku jest definiowana jako moc fali (elektromagnetyczna, jeśli chcesz). Więc jest to , i jest to pojedyncza liczba, a nie zmienna w czasie ilość.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Przeczytaj o twierdzeniu Wienera-Khinchina . Odmawiasz zrozumienia, co Phonon wskazuje ci, że obliczany limit jest stały, więc jego transformata Fouriera jest tylko impulsem przy w dziedzinie częstotliwości. Jeśli to unosi twoją łódź, idź po nią, ale nie jest to gęstość widmowa mocy, jak wszyscy to rozumieją.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

Czytałem o tym twierdzeniu ... I rozumiem, w jaki sposób wiąże ono transformację Fouriera z autokorelacją. I nie odmawiam zrozumienia, co powiedział Phonon ... Rozumiem dokładnie, co powiedział @Phonon. Nie rozumiem, dlaczego używana jest formuła autokorelacji, a także nie rozumiem, dlaczego stosuje się metodę transformacji Fouriera (aby uzyskać PSD, możesz wziąć transformatę Fouriera, przyjąć jej wielkość, wyprostować itp.) ... Nie mam pojęcia, dlaczego to dałoby PSD i nie byłem w stanie znaleźć porządnej pochodnej.

— user968243,

Odpowiedzi:

Masz rację, PSD ma do czynienia z obliczaniem transformacji Fouriera mocy sygnału i zgadnij, co ... robi. Ale najpierw spójrzmy na matematyczny związek między PSD a funkcją autokorelacji.

Notacje:
- Transformacja Fouriera: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Czas) Funkcja autokorelacji: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Udowodnijmy, że transformata Fouriera funkcji autokorelacji rzeczywiście jest równa gęstości widmowej mocy naszego stochastycznego sygnału sygnałowego . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Co to wszystko znaczy? Uwaga: to wyjaśnienie jest nieco „hacky”. Ale proszę bardzo

Transformacja Fouriera mówi nam składowe widmowe sygnału. W naszym przypadku sygnał jest stochastyczny; Tak więc próba obliczenia składowych widmowych sygnału będzie bezcelowa, ponieważ dla każdej realizacji losowego procesu będziesz mieć inne wyrażenia dla . $\mathcal{F}[x(t)]$

Co jeśli weźmiesz wtedy oczekiwaną wartość transformaty Fouriera? To by nie działało. Weźmy na przykład zerowy sygnał średni.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

Zamiast tego co zrobić, jeśli weźmiesz transformatę Fouriera kwadratu sygnału.

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

Funkcja autokorelacji to w zasadzie którym mówiłeś. $P(t)$

Bibliografia:

[1] Komunikacja 1, PL. Dragotti, Imperial College London

[2] White Noise and Estimation, F. Tobar [niepublikowane sprawozdanie]

— ssk08
źródło

Fantastyczne wyjaśnienie! Niewielka rachunek pytanie - czy jesteś w stanie zamienić i wewnątrz podwójnych całek, tylko dlatego, że ich granice są zarówno od - do + ?

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

— Spacey,

tak to prawda.

— ssk08

Okej, myślę, że to rozumiem. Widzę, jak transformacja Fouriera jest powiązana z autokorelacją. Nie do końca jednak rozumiem, na czym polega problem z przyjęciem transformacji Fouriera z lub . Naprawdę nie rozumiem, dlaczego należy przyjąć oczekiwaną wartość (wiem, że to uśrednia, ale nie wiem, dlaczego jest to konieczne) i tak naprawdę nie rozumiem, co rozumiesz przez „za każdą realizację losową” proces, będziesz mieć różne wyrażenia dla „. Gdybyś mógł trochę rozwinąć, byłoby świetnie! Dziękuję za Twój czas!

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

— user968243,

@ user968243 Jeśli chodzi o część „do każdej realizacji”, pomyśl o tym w ten sposób: Twój oryginalny sygnał, powiedzmy, długość , dla której chcesz znaleźć PSD, jest wektorem losowym. Jest to wektor z składowymi. Ponieważ jest to losowy wektor, za każdym razem, gdy „rzucasz kostką”, otrzymujesz różne wartości dla jego składników. Jedną z możliwości może być [3 4 1 9 ...]. Inną możliwością może być [2,9 4,2 1,1 9,02 ...]. To, co on oznacza, kiedy mówi: „Za każdą realizacją procesu losowego, (twój wektor), można uzyskać różne wyrażenia dla” (transformaty Fouriera sensu.?

N

$N$

N

$N$

— Spacey

@Mohammad podsumował to idealnie.

— ssk08

Niezła pochodna, ale myślę, że możesz to zrobić jeszcze łatwiej

Automatyczna korelacja , jest to splot sygnału z samoregulacją czasową. $r(t) = x(t)*x(-t)$

Konwolucja w dziedzinie czasu jest zwielokrotnieniem w dziedzinie częstotliwości.

Przerzucanie czasu w dziedzinie czasu jest „sprzężonym złożonym” w dziedzinie częstotliwości.

Stąd otrzymujemy

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
źródło

Czy autokorelacja nie jest splotem sygnału z jego złożonym sprzężonym, odwróconym czasem ja?

— Jim Clay

Myślę, że zakłada, że sygnał jest prawdziwy.

— ssk08

@Jim & ssk08: oboje oczywiście macie rację. Dzięki za uporządkowanie równań.

— Hilmar,

Objaśnienie PSD (gęstość widmowa mocy)

Funkcja autokorelacji to w zasadzie którym mówiłeś.P(t)P(t)P(t)

Funkcja autokorelacji to w zasadzie którym mówiłeś. $P(t)$