Jak oddzielić odpowiedź impulsową układu liniowego od zestawu sygnałów wejściowych i wyjściowych?

Chcę wiedzieć, jak rozwiązać tego rodzaju problemy ... czy to przez kontrolę?

Rozważmy układ liniowy poniżej. Podczas wejścia do systemu , i , odpowiedzi systemów są , i , jak pokazano. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Ustal, czy system jest niezmienny w czasie, czy nie. Tylko twoja odpowiedź.
Jaka jest odpowiedź impulsowa?

EDYCJA: Zakładając ogólny przypadek, w którym dane wejściowe nie zawierają skalowanego impulsu, takiego jak $x_2[n]$

— Belbesy
źródło

Podpowiedź Use

w celu określenia odpowiedzi impulsowej

musi być (od

jest tylko skalowany impulsowy). To daje odpowiedź na część (b). Następnie sprawdź pozostałe dwa przypadki, aby sprawdzić, czy wejścia / wyjścia są zgodne z tą odpowiedzią impulsową (używając właściwości superpozycji układu liniowego), aby uzyskać odpowiedź dla części (a).

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R

To trudniejszy problem w ogólnym przypadku. Jeśli wszystkie są tak krótkie, znasz górną granicę czasu trwania odpowiedzi impulsowej i masz wystarczającą liczbę par wejścia / wyjścia, to możesz ustawić układ równań liniowych, który możesz rozwiązać, aby uzyskać nieznany impuls wartości odpowiedzi.

— Jason R

W ogólnym przypadku całkiem możliwe jest, że nie ma rozwiązania FIR lub w ogóle nie ma rozwiązania. Wskazówka: sprawdź wartości prądu stałego x1 [n] i y1 [n].

— Hilmar

Wskazówka: Jak wygląda sygnał

? W przypadku systemu LTI odpowiedź powinna wynosić

, nie? Czy to jest Należy również zauważyć, że w przypadku liniowego wariantu czasowego z czasem dyskretnym nie ma jednej odpowiedzi impulsowo-jednostkowej, ale nieskończona liczba odpowiedzi impulsowo-jednostkowych, po jednej za każdym razem, gdy wystąpi impuls jednostkowy.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate: Zgadzam się, że jest to okropny problem z pracą domową. Jednak system wygląda na przyczynowy. Podczas gdy

jest niezerowe dla

, to jest

, więc wyjście systemu nie prowadzi do wejścia w czasie.

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R

Odpowiedzi:

Nie jestem pewien, o co chodzi z tym dziwakiem na temat związku przyczynowego lub jego braku. Możesz podejść do tego problemu, myśląc o algebrze liniowej. jest transformacją liniową. Zastosowanie do danych wejściowych to tylko mnożenie macierzy. Mamy więc Jeśli jest impulsem, to po prostu wybiera kolumnę , więc kolumny są odpowiedziami impulsowymi. Oczywiście 3 pary wejścia-wyjścia nie są wystarczające, aby całkowicie określić jako matrycę 5x5. $L$ $L$

L x = y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Zastanówmy się, co z tego punktu widzenia oznaczałoby niezmienność czasową. Jeśli transformacja jest liniowa i niezmienna w czasie, to odpowiedź impulsowa zawsze ma ten sam kształt i jest przesuwana w czasie tylko o tę samą wartość co impuls wejściowy. Powiedzmy, że odpowiedź impulsowa dla jest 0 1 2 3 0 wyśrodkowana na szczycie impulsu wejściowego (a zatem nie ma związku przyczynowego). Macierz liniowego niezmiennika czasowego wyglądałaby wtedy następująco: $L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Tak więc, aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, wystarczy zbudować wystarczającą liczbę dwóch kolumn, aby zobaczyć, że są one różne, aby obalić niezmienność czasową. Bezpośrednim sposobem na to jest założenie, że jest on niezmienny w czasie i wyprowadzenie sprzeczności. Jednak wykazanie, że jest niezmienna w czasie, wymaga więcej informacji, tj. Wymaga pełnego określenia macierzy. Jeśli nie jest on niezmienny w czasie, wówczas istnieje potencjalnie inna odpowiedź impulsowa dla każdej próbki, a nie pojedynczej, jak wspomnieli inni.

$L$

— Derek Elkins opuścił SE
źródło

Wydaje się, że jest już obraz, który zniknął, a zatem mogę coś przeoczyć.

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Jeśli sygnały wejściowe są ograniczone pasmem, a ich przepustowość jest mniejsza niż w twoim systemie, nie będziesz w stanie przywrócić odpowiedzi impulsowej.
Będziesz mógł uzyskać odpowiedź tylko na częstotliwościach, na których wejście ma energię.
Można to zrobić przez analizę częstotliwości wejścia i wyjścia.
Jeśli twój system jest rzeczywiście LTI, połączenie między wejściem a wyjściem jest realizowane przez splot z odpowiedzią impulsową.
Konwolucja jest zwielokrotnieniem w dziedzinie częstotliwości, stąd można łatwo uzyskać odpowiedź impulsową (ponownie, tylko przy częstotliwościach, na których wejście ma energię).

Aktualizacja

To dobry przypadek, aby pokazać przemienną właściwość splotu.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Jak napisano powyżej, jednym ze sposobów jest napisanie problemu w postaci macierzy.

— Royi
źródło

Obraz jest teraz z powrotem. Wygląda na to, że masz bardzo konkretne pytanie. Dlatego moja odpowiedź, która była o wiele bardziej ogólna, nie jest wystarczająco skoncentrowana.

— Royi