W jaki sposób

Jestem nowicjuszem w DSP i mam kilka wątpliwości dotyczących transformacji i jej regionu konwergencji (ROC).$\mathcal Z$

Wiem, co to jest matematyczna transformacjaAle mam problem ze zrozumieniem ROC. Przede wszystkim mylę się z i . Łatwo mnie złapią, wymieniając te warunki. Wiem, że ROC określa region, w którym istnieje transformacjaZ sieci i moich książek wynika, że:$\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$$\mathcal Z$

Jeśli jest sekwencją o skończonym czasie trwania, wówczas ROC jest całością$x[n]$$z$ -plane, z wyjątkiem możliwie$z = 0$ lub $\lvert z\rvert = \infty$. Sekwencja o skończonym czasie trwania jest sekwencją niezerową w skończonym przedziale$n_1 \le n \le n_2$

A później mówi:

Kiedy $n_2 > 0$ nastąpi $z^{-1}$ termin, a zatem ROC nie będzie obejmował $z=0$. Kiedy$n_1 < 0$ wówczas suma będzie nieskończona, a zatem ROC nie uwzględni $\lvert z\rvert=\infty$.

Tu utknąłem! Co próbują powiedzieć w powyższym wierszu „ Kiedy$n_2 > 0$ nastąpi $z^{-1}$ termin, a zatem ROC nie będzie obejmował $z=0$„Co mają na myśli $z=0$? Czy oni zastępują?$z$ tak jak $0$, jeśli tak, w jakim równaniu?

Jak obliczyć region konwergencji dla nieskończonej sekwencji?

Szczerze mówiąc, myślałem, że teoria transformacji Z była również trochę nieprzejrzysta na studiach. Z perspektywy czasu kurs złożonej analizy uczyniłby to bardziej zrozumiałym. Ja też nie lubię konwencji notacyjnych, które wydają się być używane do tego rodzaju rzeczy. Ściśle mówiąc, typową konwencją jest tutaj

• $x[n]$ oznacza sekwencję czasu dyskretnego
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • nawiasy oznaczają dyskretny argument
• $X(z)$ oznacza przekształconą funkcję o ciągłej wartości
  • $z\in\mathbb{C}$ (jest liczbą zespoloną)
  • nawiasy oznaczają funkcję przyjmującą parametr o wartości ciągłej
  • stolica $X$ oznacza przekształconą wersję innej funkcji / sekwencji $x$ (podobna notacja jest używana dla transformacji Fouriera: $F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Co rozumieją przez z = 0? Czy podstawiają z jako 0, jeśli tak, w jakim równaniu?

To znaczy, po prostu podłącz $z=0$ do twojej zwykłej definicji transformaty Z.

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Ogólnie (dokładniej kiedy $x[n] \ne 0$ dla niektórych $n \ne 0$), suma ta będzie się różnić (do nieskończoności) dla niektórych kompleksów $z$. Na przykład pozwól$x[0] = 1, x[1] = 1$, i $x[n]=0$ dla $n<0$ i $n>1$. Następnie$X(z) = 1 + z^{-1}$. ROC nie obejmuje$z=0$, dla $\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Kiedy w tekście jest napisane: „ Gdy , będzie to a zatem ROC nie będzie zawierać$n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ”, co to oznacza, gdy jest niezerowe dla niektórych , nieuniknione jest, aby transformacja z zawierała termin , który rozbiega się do nieskończoności przy . To wszystko.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Jak obliczyć region konwergencji dla nieskończonej sekwencji?

Dużo matematyki. Ha!

srsly, sposób, w jaki się to robi, polega na uzyskaniu formuły algebraicznej dla danej sekwencji, podłączeniu jej do definicji transformacji Z i użyciu narzędzi dostępnych z analizy szeregów geometrycznych (i złożonych szeregów mocy), aby ustalić, gdzie to Z -transform zbieżne / rozbieżne. W praktyce ustalanie, czy$|z|=1$ zbieżne jest najważniejszym pytaniem, na które należy odpowiedzieć, ponieważ określa ono stabilność oraz to, czy można uzyskać odpowiedź częstotliwościową z systemu itp. Ale przyczynowość może również mieć znaczenie, w zależności od tego, co robisz.