Jak radzisz sobie z częstotliwościami ujemnymi w spektrum mocy złożonego sygnału?

Kiedy zastosujemy operację DFT na rzeczywistym sygnale aby uzyskać , a następnie weźmy kwadratową wielkość , , widmo mocy jest symetryczne. Częstotliwości dodatnie lub ujemne można przyjąć jako informację o częstotliwości w . $x[n]$ $X[k]$ $X[k]$ $\lvert X[k]\rvert^2$ $X[k]$

Nie dotyczy to jednak sygnałów o złożonej wartości; widmo mocy nie jest symetryczne.

W takim przypadku, jak określiłbyś składowe częstotliwości w oryginalnym sygnale?
Czy możemy po prostu upuścić część częstotliwości ujemnej?

fft frequency-spectrum

— Mikrofon
źródło

Zauważ, że dodatnie i ujemne częstotliwości są liniowymi kombinacjami sinusa i cosinusa, dlatego też dodatnie i ujemne częstotliwości są wymagane do uzyskania właściwej fazy. W przypadku sygnałów złożonych należy dodać moc na obu częstotliwościach, aby uzyskać całkowitą moc na tej częstotliwości.

— Christopher Crawford

Odpowiedzi:

Dla prawdziwego sygnału zawartość przy ujemnych częstotliwościach generowanych przy użyciu DFT jest zbędna. Wynika to z dobrze znanej właściwości sygnałów rzeczywistych w odniesieniu do rodziny transformat Fouriera: ich transformacje są hermetyczne symetryczne . Oznacza to, że dla każdego sygnału rzeczywistego , $x[n]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N} = (\sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j (- 2 π n k / N)})^{*} = X [- k] = X [N - k]

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n k / N} = (\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j(-2\pi n k / N)})^* = X[-k] = X[N - k]$

Tak więc, jeśli twój sygnał wejściowy jest prawdziwym sygnałem, wszystkie informacje znajdują się w dodatnich przedziałach częstotliwości; ujemne częstotliwości można odrzucić w wielu zastosowaniach. Jednak nie ma takiej właściwości dla ogólnych sygnałów złożonych. Mogą mieć widma mocy, które są asymetryczne względem częstotliwości zerowej, więc nie możesz odrzucić żadnego z przedziałów częstotliwości widma mocy złożonego sygnału bez utraty informacji.

— Jason R.
źródło

X [k]

$X[k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

X [N - k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n (N - k) / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π N n / N} e^{j 2 π n k / N} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{j 2 π n k / N} = (X [k])^{*}

$X[N-k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{-j2\pi n (N-k) / N} = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi N n/N} e^{j2\pi n k / N} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n] e^{j2\pi n k / N}=(X[k])^*$

X [- k]

$X[-k]$

X [N - k]

$X[N-k]$

W przypadku wartości rzeczywistej możemy upuścić np. W praktyce, gdy używasz analizatora widma, dla fali rzeczywistej łatwiej jest zobaczyć połowę, ponieważ druga strona jest lustrem. Ale w przypadku złożonego sygnału nie ma rzeczywistych odpowiedzi urządzenia i masz teoretyczne studia, więc powinieneś zachować obie strony.

— Hossein
źródło

jeśli mam jeden złożony sygnał złożony z dwóch bliskich częstotliwości, w PSD stwierdziłem, że strona częstotliwości dodatniej pokazuje dwa piki, podczas gdy strona ujemna pokazuje jeden pik. Czy mogę zatem dojść do wniosku, że sygnał ma dwie częstotliwości?

— Mike

Nie, nie możesz powiedzieć, ponieważ sygnał jest złożony.

— Hossein

jakie jest fizyczne znaczenie częstotliwości ujemnej?

— Mike

@Mike dsp.stackexchange.com/questions/431/…

— GummiV

@Mike I believe I may have answered that... [please see] (dsp.stackexchange.com/questions/431/…)

— Spacey