Jaka jest zaleta adaptacyjnego filtra IIR w stosunku do FIR?

Adaptacyjne filtry IIR nie są proste i mogą być niestabilne. Wiele osób twierdzi, że adaptacyjne filtry IIR używają mniej współczynników niż filtry FIR. Ciekawe, ile współczynników można zapisać w IIR?

Próbowałem użyć adaptacyjnych filtrów IIR do oszacowania funkcji transferu 32-rzędowego filtra FIR. Załóżmy, że filtr IIR ma $M+N+1$ współczynniki: $a_1, a_2, ..., a_M, b_0, b_1, ...b_N$ . Stwierdziłem, że wynik oszacowania jest akceptowalny tylko wtedy, gdy $M+N+1 \ge 30$ , tzn. można zapisać tylko 2 współczynniki.

W rzeczywistych projektach, na przykład FPGA 50 MHz, FIR wyprodukuje 32 zamówienia $(32 / 50 ~{M}) / 2 = 0.32 ~{\mu s}$ opóźnienie, więc

Co stanie się z IIR?
Czy filtry adaptacyjne IIR mogą rzeczywiście zmniejszyć liczbę współczynników i skrócić opóźnienie przetwarzania sygnału?

infinite-impulse-response fir adaptive-filters

— Alexander Zhang
źródło

Zauważ, że typowy FIR o 32 zamówieniach wyprodukuje około

16 / 50 M = 0.32 μ s

$16/50M = 0.32 \mu s$ opóźnienie: dominujący zaczep znajduje się zwykle w środku filtra, przez co opóźnienie wynosi połowę długości filtra.

— Dan Boschen

Tak, masz rację, opóźnienie wynosi 0,32 us. Dzięki za poprawienie mnie.

— Alexander Zhang

Czy masz również na myśli ograniczenie pytania do filtrów adaptacyjnych, czy jest to ogólne pytanie dotyczące filtrów IIR vs filtrów FIR (ze stałymi współczynnikami, a zatem nieadaptacyjnymi)?

— Dan Boschen

Nie jestem również zaznajomiony z adaptacyjnymi filtrami IIR, ale jestem zaskoczony i trochę sceptycznie podchodzę do tego, biorąc 31 adaptacyjnych filtrów IIR, aby dopasować 33 filtry FIR. Zazwyczaj uzyskanie porównywalnego filtra wymagałoby znacznie mniej filtrów IIR.

— Jim Clay,

Nie wierzę, że to dobry sposób na porównanie filtrów. Zamiast tego powinieneś użyć wskaźników opartych na tym, co prawdopodobnie próbujesz osiągnąć, takich jak tłumienie stop-band, tętnienie itp.

— Jim Clay

Oto najważniejsze różnice między filtrami FIR i IIR w zakresie funkcji, którą chcesz kontrolować:

\begin{array}{clcr} Feature & IIR & FIR \\ Implementation & Poles & Zeros & Zeros Only \\ States & Yes & No \\ Phase Delay & * & Half Integer \\ Stability & * & Always \\ Ripple & Yes & * \\ Cut-Off & Yes & * \end{array}

$\begin{array}{c|lcr} \text{Feature} & \text{IIR} & \text{FIR} \\ \hline \text{Implementation} & \text{Poles & Zeros} & \text{Zeros Only} \\ \text{States} & \text{Yes} & \text{No} \\ \text{Phase Delay} & \text{*} & \text{Half Integer} \\ \text{Stability} & \text{*} & \text{Always} \\ \text{Ripple} & \text{Yes} & \text{*} \\ \text{Cut-Off} & \text{Yes} & \text{*} \\ \end{array}$

* Oznacza, że funkcją można sterować, w większości przypadków dodając zamówienia.

Standardowe definicje filtrów FIR i IIR to:

JODŁA:

H (z) = b_{0} z^{0} + . . . + b_{n} z^{n}

$H(z)=b_0z^0+...+b_nz^n$

y (t) = b_{0} u (t) + . . . + b_{n} u (t - n)

$y(t)=b_0u(t)+...+b_nu(t-n)$

IIR:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{1} + . . . + b_{n} z^{n}}{1 + a_{1} z^{1} + . . . + a_{n} z^{n}}

$H(z)=\frac{b_0+b_1z^1+...+b_nz^n}{1+a_1z^1+...+a_nz^n}$

y (t) = b_{0} u (t) + . . . + b_{n} u (t - n) - a_{1} y (t - 1) - . . . - a_{n} y (t - n)

$y(t)=b_0u(t)+...+b_nu(t-n)-a_1y(t-1)-...-a_ny(t-n)$

$u$ jest wejściem, $y$ jest wyjściem, $x$ to stany (poniżej), $t$ to czas skalowany przez czas próbkowania $dt$ , $n$ to liczba rzędów filtra. Każdy filtr ma $n$ wektory współczynników wielkości plus stały składnik bezpośredniego wyjścia $b_0$ (opcjonalnie) i $a_0$ = 1 Dla uproszczenia załóżmy $\sum{b_i}=1$ i $\sum{a_i}=1$ , choć nigdzie nie jest to wymagane.

Realizacja . Z definicji FIR zawiera tylko zera, co prowadzi do układu liniowego w wektorze historii dla $u$ : $[u(t-1)...u(t-n)]$ .

IIR obejmują zarówno bieguny, jak i zera, prowadząc również do układu liniowego w wektorze historii nie tylko dla $u$ , ale dla $y$ też. Z tego powodu z jednej strony IIR może być niestabilny; ale z drugiej strony mogą być zaprojektowane tak, aby miały gładkie tętnienia i ostre odcięcia przy niewielkiej liczbie zamówień.

Zjednoczone . FIR to układy statyczne w wektorach historii, co oznacza, że filtr nie jest dynamiczny, nie ma stanów, nie jest rekurencyjny, nie ma sprzężenia zwrotnego. IIR to dynamiczne układy w wektorach historii, co oznacza, że filtry mają stany, są rekurencyjne, mają sprzężenie zwrotne, a zatem mają „pamięć” z przeszłych wejść i wyjść.

Opóźnienie fazy . Faza Delay $\tau_\phi$

y (t) = y_{0} (t - τ_{t}) s i n (ω (t - τ_{ϕ}) + θ)

$y(t)=y_0(t-\tau_t) sin(\omega(t-\tau_\phi)+\theta)$

może być łatwo kontrolowany w implementacjach FIR. Gdyby $b_k=b_{n-k}$ , $k=0...n$ opóźnienie fazy jest stałe, równe $n/2$ (środek kształtu współczynników FIR, jego odpowiedź impulsowa), równy opóźnieniu grupy, a zatem filtr staje się fazą liniową , z fazą równą $\omega\tau_phi$ .

Ponieważ IIR mają nieskończoną odpowiedź impulsową, mogą one być fazą minimalną zamiast fazy liniowej, chociaż uzyskana faza może być znacznie mniejsza niż faza FIR dla tej samej liczby rzędów.

Stabilność . FIR jest zawsze stabilny, IIR można zaprojektować tak, aby był stabilny, jeśli wymagana jest stabilność.

Ripple . IIR może być zaprojektowany tak, aby był płaski z pofałdowaniem zarówno w paśmie pasmowym | stop-pasmowym | oba (butterworth | chebyshev | eliptyczne), FIR wymaga dużej (mającej tendencję do „nieskończoności”) liczby zamówień w celu zrównania tej właściwości.

Odcięcie . IIR można zaprojektować tak, aby zawierał ostre odcięcia lub wąskie pasma przejściowe, FIR wymaga dużej (z tendencją do „nieskończoności”) liczby rzędów w celu zrównania tej właściwości.

Powiązane artykuły:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-341-discrete-time-signal-processing-fall-2005/lecture-notes/lec08.pdf https: // www .quora.com / Why-are-FIR-filtry-preferowane-nad-IIR-filtry http://iowahills.com/A8FirIirDifferences.html http://forums.prosoundweb.com/index.php?topic=2045.0 http: //www.vyssotski.ch/BasicsOfInstrumentation/SpikeSorting/Design_of_FIR_Filters.pdf

— Brethlosze
źródło