Dlaczego faza liniowa jest ważna?

16

Jeżeli spełnione są warunki symetrii, filtry FIR mają fazę liniową. Nie dotyczy to filtrów IIR.

Jednak w przypadku jakich aplikacji złe jest stosowanie filtrów, które nie mają tej właściwości i jaki byłby negatywny efekt?

filters filter-design fir

— The Pheromone Kid
źródło

17

Filtr liniowy fazy będzie zachowa kształt fali sygnału lub składowej sygnału wejściowego (w możliwym zakresie, biorąc pod uwagę, że amplituda niektórych częstotliwości zostanie zmieniona przez działanie filtra).

Może to być ważne w kilku domenach:

koherentne przetwarzanie i demodulacja sygnału , w których kształt fali jest ważny, ponieważ musi zostać podjęta decyzja progowa na kształcie fali (być może w przestrzeni kwadraturowej i przy wielu progach, np. modulacja 128 QAM), aby zdecydować, czy odebrany sygnał reprezentuje „1 ”lub„ 0 ”. Dlatego zachowanie lub odzyskanie pierwotnie przesyłanego kształtu fali ma ogromne znaczenie, w przeciwnym razie zostaną podjęte błędne decyzje progowe, co stanowiłoby niewielki błąd w systemie komunikacyjnym.
przetwarzanie sygnałów radarowych , w którym kształt fali zwróconego sygnału radarowego może zawierać ważne informacje o właściwościach celu
przetwarzanie dźwięku , w którym niektórzy uważają (choć wielu kwestionuje znaczenie), że „wyrównanie w czasie” różnych elementów złożonego kształtu fali jest ważne dla odtwarzania lub utrzymywania subtelnych właściwości wrażeń słuchowych (takich jak „obraz stereo” i tym podobne)

— AndyW
źródło

4

(Przeprowadziłem testy odsłuchowe ABX i byłem w stanie rozróżnić między symulowanym zwrotnicą Linkwitz-Riley 8. rzędu vs bez. Impulsywne dźwięki stają się „ćwierkające”, ponieważ wysokie częstotliwości pojawiają się nieco wcześniej niż niskie. Więc # 3 nie jest całkowicie daleko posunięte.)

— endolith

1

Nie trzeba dodawać, że właściwość zachowania kształtu fali ma zastosowanie tylko w przypadku sygnałów wąskopasmowych ... W przeciwnym razie (w przypadku ogólnych sygnałów szerokopasmowych) filtr (niezależnie od fazy liniowej) zmieni kształt sygnału tak bardzo, jak odpowiedź impulsowa splata się z sygnałem. .

— FAT32

18

Pozwólcie, że dodam następującą grafikę do wielkich już udzielonych odpowiedzi.

Gdy filtr ma fazę liniową , wówczas wszystkie częstotliwości w tym sygnale będą opóźnione samym czasie (jak opisano matematycznie w odpowiedzi Fat32).

Każdy sygnał może zostać rozłożony (poprzez szereg Fouriera) na osobne komponenty częstotliwości. Gdy sygnał opóźnia się przez dowolny kanał (taki jak filtr), o ile wszystkie te składowe częstotliwości ulegają opóźnieniu o tę samą wartość, ten sam sygnał (sygnał zainteresowania, w paśmie przepustowym kanału) zostanie odtworzony po opóźnieniu .

Weźmy pod uwagę falę kwadratową, która poprzez rozszerzenie szeregów Fouriera składa się z nieskończonej liczby nieparzystych częstotliwości harmonicznych.

Na powyższej grafice pokazuję podsumowanie pierwszych trzech składników. Jeśli wszystkie te składniki są opóźnione o tę samą wartość, fala będąca przedmiotem zainteresowania pozostaje nienaruszona, gdy te składniki są sumowane. Jednak znaczne zniekształcenie opóźnień grupowych nastąpi, jeśli każdy składnik częstotliwości zostanie opóźniony w różnym czasie.

Poniższe informacje mogą pomóc w uzyskaniu dodatkowego intuicyjnego wglądu dla osób z pewnym tłem RF lub analogowym.

Rozważ idealną bezstratną szerokopasmową linię opóźniającą (na przykład przybliżoną długością kabla koncentrycznego), która może przesyłać szerokopasmowe sygnały bez zniekształceń.

Funkcja przenoszenia takiego kabla jest pokazana na poniższym wykresie i ma wartość 1 dla wszystkich częstotliwości oraz fazę ujemnie rosnącą w bezpośrednim stosunku liniowym do częstotliwości. Im dłuższy kabel, tym bardziej strome jest nachylenie fazy, ale we wszystkich przypadkach „faza liniowa”.

To ma sens; opóźnienie fazowe sygnału 1 Hz przechodzącego przez kabel z 1-sekundowym opóźnieniem wyniesie 360 °, natomiast sygnał 2 Hz z tym samym opóźnieniem będzie wynosił 720 ° itd.

Przenosząc to z powrotem do cyfrowego świata, $z^{-1}$ jest transformatą z 1 opóźnienia próbki (a zatem linii opóźnienia), o podobnej odpowiedzi częstotliwościowej do tego, co pokazano, tylko w kategoriach H (z); stała wielkość = 1 i faza, która przebiega liniowo od $0$ do $-2\pi$ od f = 0 Hz do f = fs (częstotliwość próbkowania).

Najprostszym wyjaśnieniem matematycznym jest to, że fazą liniową z częstotliwością i stałym opóźnieniem są pary Transformacji Fouriera. Jest to właściwość shift transformaty Fouriera. Stałe opóźnienie w czasie $\tau$ sekund powoduje fazę liniową w częstotliwości $-\omega \tau$ , gdzie $\omega$ jest osią częstotliwości kątowej w radianach / sek:

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} d u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} d u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Dan Boschen
źródło

3

Dan, twój wykres radosnej i smutnej twarzy rozśmieszył mnie głośno z tego, jak bardzo jest to pouczające! Ładnie wykonane!

— Oreo

12

Aby dodać do tego, co już zostało powiedziane, możesz to intuicyjnie zobaczyć, patrząc na następną sinusoidę z monotonicznie rosnącą częstotliwością.

Przesunięcie tego sygnału w prawo lub w lewo spowoduje zmianę jego fazy. Należy jednak pamiętać, że zmiana fazy będzie większa dla wyższych częstotliwości i mniejsza dla niższych częstotliwości. Innymi słowy, faza rośnie liniowo wraz z częstotliwością. Zatem stałe przesunięcie czasowe odpowiada liniowej zmianie fazy w dziedzinie częstotliwości.

— orodbhen
źródło

Najlepsza odpowiedź imo.

— Felix Crazzolara,

11

τ (ω) = - \frac{d ϕ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$ odpowiedzią filtra; (faza jego odpowiedzi częstotliwościowej).

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ . Oznacza to, że sygnał wejściowy będzie ważony i przesuwany nienaruszony jako całość przez opóźnienie grupowe filtra. I może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy opóźnienie grupy jest niezależne od częstotliwości $\omega$ . I tak będzie w przypadku, gdy podstawowy filtr ma fazę liniową (lub uogólnioną fazę liniową). Należy zauważyć, że jeśli sygnał wejściowy jest typu szerokopasmowego; tj. jego minimalne i maksymalne częstotliwości są dalekie od częstotliwości środkowej, wówczas aproksymacja nie jest ważna i chociaż opóźnienie grupowe byłoby nadal takie samo dla każdej składowej sinusoidalnej w sygnale, ich względne amplitudy wyjściowe będą się różnić o wzmocnienie filtra zależne od częstotliwości $K(w)$ .

Jaki jest zatem wpływ filtra z fazą nieliniową (lub opóźnieniem grupy zależnej od częstotliwości) na sygnał wejściowy? Prostym przykładem byłby skomplikowany sygnał wejściowy rozpatrywany jako suma wielu pakietów falowych o różnych częstotliwościach środkowych. Po filtrowaniu każdy pakiet o określonej częstotliwości środkowej zostanie przesunięty (opóźniony) w inny sposób ze względu na opóźnienie grupy zależne od częstotliwości. Będzie to skutkować zmianą kolejności czasowej (lub przestrzennej) tych pakietów fal, czasami drastycznie, w zależności od nieliniowości fazy, która jest nazywana dyspersją w terminologii komunikacyjnej. Nie tylko złożony kształt fali, ale także niektóre zamówienia zdarzeń mogą zostać utracone. Ten rodzaj kanałów dyspersyjnych ma poważne skutki, takie jak ISI (interferencja między symbolami) na przesyłane dane.

Ta właściwość liniowych filtrów fazowych jest zatem znana również jako właściwość zachowania kształtu fali , która ma zastosowanie w szczególności do sygnałów wąskopasmowych. Przykładem, w którym ważny jest kształt fali, innym niż ISI, jak wspomniano powyżej, jest przetwarzanie obrazów, w którym informacja o fazie transformaty Fouriera ma ogromne znaczenie w porównaniu z wielkością transformaty Fouriera, ze względu na zrozumiałość obrazu. Tego samego nie można jednak powiedzieć o postrzeganiu sygnałów dźwiękowych z powodu różnego rodzaju wrażliwości ucha na bodziec.

— Fat32
źródło

Co w tym kontekście oznacza uogólniona faza liniowa?

1

@ 0MW Przypuszczam, że oznacza to, że dozwolone jest również stałe przesunięcie fazowe, jak w transformacji Hilberta .

— Olli Niemitalo,

10

Odpowiedź na to pytanie została już wyjaśniona w poprzednich odpowiedziach. Chciałbym jednak spróbować przedstawić matematyczną interpretację tego samego

Rozważmy liniowy niezmienny czasowy system, którego charakterystyką częstotliwościową zarządza $H(w)$ .

tzn. jeśli dane wejściowe do tego systemu to $e^{jw_{0}t}$ wyjście będzie $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

Tutaj $H(w_{0})$ jest liczbą zespoloną, która ma składnik fazowy oznaczony przez $arg(H(w))$ oraz składnik wielkości oznaczony przez $|H(w)|$

jeśli układ ma liniową odpowiedź fazową, to

za r sol (H. (w)) = K. w

$arg(H(w)) = Kw$ gdzie

K

$K$ jest stałą

Jeżeli faza jest liniowa, wyjście systemu na wejściu $e^{jw_{0}t}$ będzie

y (t) = | H. (w) | * {mi}^{jot w_{0} t + jot K. w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H. (w) | * {mi}^{jot w_{0} (t + K.)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$ który jest niczym innym jak opóźnioną wersją danych wejściowych z zastosowanym pewnym skalowaniem.

Jeśli więc faza jest liniowa, wówczas wszystkie składowe częstotliwościowe sygnału ulegną tej samej wielkości opóźnienia w dziedzinie czasu, co skutkuje zachowaniem kształtu.

— SakSath
źródło

1

Przedstawię tylko podsumowanie tych wspaniałych odpowiedzi wspomnianych powyżej:

przesunięcie sygnału w dziedzinie czasu spowoduje przesunięcie fazowe proporcjonalne do częstotliwości, więc f (t + dt) będzie F (f) e (j2πfdt)
Gdy filtr z odpowiedzią fazy liniowej wszystkie częstotliwości sygnału wejściowego na ten filtr zostaną przesunięte o tę samą wartość w dziedzinie czasu, co doprowadzi do możliwości odtworzenia sygnału wejściowego.

— Youssef Rafaat
źródło