Próbkowanie funkcji ciągłej: delta Kroneckera czy Diraca?

Czytałem kilka artykułów na temat przetwarzania sygnałów i jestem bardzo zdezorientowany co do tematu w tytule mojego pytania. Rozważmy ciągły w funkcji czasu , , że próbki na nierówne czasy , gdzie . Dla mnie sensowne jest, że próbkowaną funkcją jest: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ gdzie

to delta Kroneckera (równa się

gdy

, gdzie indziej zero). Jednak w tym artykule autor definiuje próbkowany sygnał jako:

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

gdzie

jest funkcją delty Diraca i naprawdę nie rozumiem, dlaczego

pojawia się tutaj (autor twierdzi, że funkcja próbkowania jest w rzeczywistości ważoną sumą funkcji delta

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

a tutaj wybiera

. Naprawdę nie rozumiem dlaczego). To ostatnie stwierdzenie nie ma dla mnie większego sensu: próbkowany sygnał miałby nieskończoną amplitudę przy

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

Mimo to znacznie łatwiej jest zdefiniować transformatę Fouriera w drugim przypadku (równanie ), ponieważ jest to tylko splot funkcji okna (FT grzebienia Diraca) i FT ciągłego sygnału , podczas gdy na równaniu FT jest nieco bardziej skomplikowany, ponieważ mamy funkcję całkowitą (delta Kroneckera) pomnożoną przez funkcję ciągłą ( ). Jakieś najważniejsze informacje na ten temat? $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
źródło

Modelowanie procesu próbkowania poprzez zwielokrotnienie sygnału w czasie ciągłym przez ciąg impulsów Diraca jest najczęstszą interpretacją w moim doświadczeniu. Jeśli zagłębisz się w to wystarczająco głęboko, znajdziesz pewne spory dotyczące matematycznej precyzji tego podejścia *, ale nie martwiłbym się tym; to tylko wygodny model dla tego procesu. Wewnątrz ADC telefonu komórkowego nie ma generatorów impulsów, generujących okresowe błyskawice, które zwielokrotniają ich wejścia analogowe.

Jak zauważyłeś, nie możesz obliczyć ciągłej transformacji Fouriera funkcji delta Kroneckera, ponieważ jej domena nie jest ciągła (jest ograniczona do liczb całkowitych). Natomiast funkcja delta Diraca ma prostą transformatę Fouriera, a efekt zwielokrotnienia sygnału przez ciąg impulsów Diraca jest łatwy do pokazania ze względu na jego właściwość przesiewania.

*: Na przykład, jeśli chcesz być matematycznie dokładny, powiedziałbyś, że delta Diraca wcale nie jest funkcją, ale rozkładem . Ale na poziomie inżynieryjnym te problemy są tak naprawdę tylko semantyką.

Edycja: Zajmę się komentarzem poniżej. Podałeś swój mentalny model procesu próbkowania jako:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

co nie jest poprawne. Zamiast tego modelem próbkowanego sygnału jest:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

która jest dokładnie definicją dyskretnej transformaty Fouriera .

— Jason R.
źródło

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$