Dlaczego systemy liniowe wykazują sinusoidalną wierność?

Szukam dowodu na sinusoidalną wierność. W DSP dużo się uczymy o systemach liniowych. Układy liniowe są jednorodne i addytywne. Jeszcze jednym warunkiem, który spełnia, jest to, że jeśli sygnał jest falą sinusoidalną lub cos, wówczas wyjście zmienia tylko fazę lub amplitudę. Dlaczego? Dlaczego wyjście nie może być zupełnie innym wyjściem, gdy jako sygnał wejściowy podana jest fala sinusoidalna?

Nieco wizualne uzupełnienie pozostałych odpowiedzi

Mówisz o systemach, które są liniowe i niezmienne w czasie.

Funkcje wykładnicze mają jedną osobliwą właściwość (i mogą być przez nią faktycznie zdefiniowane): wykonanie translacji czasu powoduje pomnożenie tej samej funkcji przez stałą. Więc

$$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$$

Czerwony wykładniczy może być również niebieski podzielony przez $e$ lub przesunął się o 1 sekundę w prawo

Zasadniczo dotyczy to również złożonych wykładników

Czy potrafisz sobie wyobrazić wykres złożonej harmonicznej, takiej jak $x(t)=e^{j2\pi t}$? Jeśli tak, zobaczysz, że jest jak sprężyna: wraz z upływem czasu obraca się wzdłuż złożonej płaszczyzny.

Obracanie tej sprężyny (mnożenie przez liczbę zespoloną w okręgu jednostkowym) jest tym samym, co jej tłumaczenie. Prawdopodobnie doszedłeś do tego efektu wizualnego przez jakiś czas w swoim życiu

To także zasada każdej standardowej śruby.

Załóżmy, że wprowadzamy to w liniowym systemie niezmiennym czasowo. Otrzymasz wynik$y$ Teraz wprowadź obróconą wersję tej sprężyny. Ze względu na liniowość wynik powinien być$y$obrócone o tę samą kwotę. Ale ponieważ obrót jest równoważny translacji czasu, a system jest niezmienny w czasie, wynik również musi być$y$przetłumaczone w czasie o tę samą kwotę. Więc,$y$musi spełniać tę samą właściwość co dane wejściowe: obrócenie musi być równoważne z konkretnym tłumaczeniem czasowym. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy wyjście jest wielokrotnością oryginalnej sprężyny.

Ile tłumaczeń? Cóż, jest to wprost proporcjonalne do obrotu, tak jak w przypadku sprężyny. Im ściślejsze pętle sprężyny (im szybciej się obraca), tym mniej przekłada się na czas dla określonego obrotu. Im ściślejsze pętle śruby, tym więcej rund musisz zrobić, aby całkowicie się dopasowała. A kiedy połowa rund zostanie zrobiona, śruba będzie w połowie w połowie ... Wyjście musi spełniać tę samą relację, więc sprężyna wyjściowa$y$ obraca się na tej samej częstotliwości co wejście.

Nareszcie przypomnienie

$$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$$

$$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$$

Tak więc to, co dzieje się z wykładniczymi, w rzeczywistości nie musi się zdarzać z cosinusami i sinusami w najbardziej ogólnym przypadku. Ale jeśli system jest również prawdziwy, to inna historia ...

Zasadniczo, z tego samego rozumowania, każdy wykładniczy jest „funkcją własną” (wyjście proporcjonalne do wejścia) liniowych systemów niezmienniczych w czasie. Dlatego w tych systemach transformacje Z i Laplace'a są tak przydatne

Rozważ system z wejściem $x(t)$ i wyjście $y(t)$. Pożyczając notację z odpowiedzi Larsa, oznaczamy ten związek $x(t) \to y(t)$. Mówi się, że system jest systemem liniowego niezmiennika czasowego (LTI), jeśli spełnia następujące właściwości:

H. Jeśli$x(t) \to y(t)$, następnie $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$.

A. Jeśli $x_1(t) \to y_1(t)$ i $x_2(t) \to y_2(t)$, następnie $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. Jeśli $x(t) \to y(t)$, następnie $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $\tau$.

Właściwości H i A razem są równoważne właściwości L

L. Jeśli $x_1(t) \to y_1(t)$ i $x_2(t) \to y_2(t)$, następnie $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$.

---

Okresowe wprowadzanie danych do systemu niezmiennego w czasie generuje okresowe dane wyjściowe
Załóżmy, że$x(t)$to sygnał okresowy z kropką$T$, to jest, $x(t-nT) = x(t)$ dla wszystkich liczb całkowitych $n$. Następnie z nieruchomości T wynika natychmiast$y(t)$ jest także sygnałem okresowym z kropką $T$. W ten sposób możemy wyrazić $y(t)$ jako seria Fouriera:

$$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$$ gdzie $\omega = 2\pi/T$ jest podstawową częstotliwością.

---

Od $\cos(\omega t)$ i $\sin(\omega t)$ są sygnałami okresowymi, mamy to dla każdego układu niezmiennego czasowo, liniowego lub nie,

$$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$$ W rzeczywistości, dla liniowego stacjonarnego (LTI) systemy wszystkie$p_n, q_n, r_n,$ i $s_n$są równe zero z wyjątkiem dla$p_1, q_1, r_1, s_1$. Aby zobaczyć, dlaczego tak jest, obliczmy odpowiedź systemu LTI na$\cos(\omega t - \theta)$ na dwa różne sposoby i porównaj wyniki.

Od $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$, otrzymujemy z właściwości L i powyższych równań, że

$$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$$ Z drugiej strony, ponieważ $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$ jest tylko opóźnioną wersją $\cos(\omega t)$, z nieruchomości T otrzymujemy to $$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$$ Te dwie serie Fouriera muszą być takie same bez względu na wartość $\theta$wybieramy. Porównując współczynniki, widzimy to $p_0/2$ nie może się równać $(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$ dla wszystkich $\theta$ chyba że $p_0 = r_0 = 0$. Podobnie dla każdego$n > 1$, $p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$ nie może się równać $p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$ itd. dla wszystkich $\theta$ chyba że $p_n = q_n = r_n = s_n = 0$. Jednak dla$n=1$, $p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$ implikuje to $r_1 = -q_1$i podobnie $s_1 = p_1$. Innymi słowy, w przypadku systemu LTI $$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$$ Teraz, $p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$ gdzie $B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$ i $\phi = \arctan(q_1/p_1)$. Dlatego właściwości T i H dają nam to $$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$$ Każda sinusoida częstotliwości$\omega$ rad / s można wyrazić jako $A\cos(\omega t - \theta)$ dla właściwego wyboru $A$ i $\theta$, a więc powyższy wynik jest tym, czego potrzebujemy.

Właściwość SISO liniowych systemów niezmienniczych w czasie: jeśli wejście do układu LTI jest sinusoidą, wyjście jest sinusoidą o tej samej częstotliwości, ale prawdopodobnie o różnej amplitudzie i fazie.

Nie jest to wynik, który chciał OP - chciał dowodu, że układ liniowy (taki, w którym posiadają właściwości H i A (równoważnie, właściwość L ), ale niekoniecznie właściwość T ) ma właściwość SISO, ale jako rozwinięcie powyżej pokazuje, że właściwość T musi zostać zachowana, aby udowodnić nawet słabszy wynik, że okresowe wprowadzanie prowadzi do okresowego wyniku.

---

Na koniec należy zauważyć, że nie jest konieczne stosowanie liczb zespolonych lub twierdzeń splotowych lub transformacji Fouriera lub LaPlace'a, impulsów, funkcji własnych itp. W celu udowodnienia właściwości SISO. Wynika to z właściwości L i * T oraz tożsamości trygonometrycznej

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$$

Oto pomysł dowodu. Załóżmy, że możemy opisać wyjście systemu za pomocą splotu,

$$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

Zauważ, że funkcja (aka „kernel”) $k_t(t)$jak napisałem tutaj, może się zmienić jako$t$różni się Jednak zwykle przyjmujemy ważne założenie$k_t(t)$- że to się nie zmienia z czasem. Nazywa się to „liniową niezmiennością czasową” (sprawdź także stronę Wikipedii dotyczącą macierzy Toeplitz ). Jeśli nasz system jest liniowo niezmienny w czasie,$k_t$jest taki sam dla każdego $t$, więc zignorujemy indeks dolny i piszemy

$$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

Powiedzmy teraz $f(t)$ jest sinusoidą, powiedzmy $f(t) = e^{i\omega t}$. Więc mamy

$$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$$

Zauważ, że ostatnie równanie nie jest zależne$t$! W rezultacie zdefiniujmy$K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$.

Odkryliśmy to

$$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$$

lub innymi słowy $y(t)$jest sinusoidą oscylującą z tą samą częstotliwością co wejście, ale ważoną liczbą zespoloną$K(\omega)$ która jest stała w odniesieniu do $t$ (a zatem może przesunąć amplitudę i fazę wyjścia w stosunku do wejścia).

EDYCJA: W komentarzach zauważono, że ta odpowiedź była dość luźna. Moim celem było szczegółowe uniknąć takich jak różne formy transformaty Fouriera, ale skończyło się utożsamiając się transformacji Fouriera i Laplace'a. To, co nazwałem wcześniej transformacją Fouriera, było tylko transformacją Fouriera, jeśli $s$był czysto wyobrażony. Uznałem, że wyjaśnienie tej trasy niekoniecznie doda zbyt wiele notacji, więc przestawiam ją na kursywę.

Teraz weźmy transformatę Laplace'a, aby na końcu (ponieważ transformata Laplace'a prowadzi do splotu mnożenia)

$$Y(s) = K(s) F(s)$$

Teraz jeśli $f$ jest sinusoidą, powiedzmy $f(t)=e^{i\omega t}$, jego transformata Laplace'a jest przy tym funkcją delta $\omega$. To jest, $F(s) = \delta_{w}(s)$. Zatem transformata Laplace'a na wyjściu jest również funkcją delta przy tej częstotliwości:

$$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$$

Od $K(\omega)$ to tylko liczba zespolona, ​​która zależy od częstotliwości wejściowej, wyjściowej $y(t)$ będzie sinusoidą o tej samej częstotliwości co wejście, ale o potencjalnie różnej amplitudzie i fazie.

Nawiasem mówiąc, właśnie zauważyłem, że możesz znaleźć ten sam pomysł zapisany w domenie czasu na Wikipedii . Wyjaśnienie na wyższym poziomie (które można zignorować, jeśli jest zbyt matematyczne) jest takie, że teoria systemów liniowych jest definiowana przez operację splotu, która jest przekątna przez transformatę Fouriera. Zatem system, którego wejście jest wektorem własnym operatora transformacji Fouriera, wyśle ​​tylko skalowaną wersję swojego wejścia.

Powiedzmy, że mamy system z wejściem $x_1(t)$ który generuje dane wyjściowe $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$i z wejściem $x_2(t)$ otrzymujemy wynik $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$. System jest liniowy, jeżeli:

$$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

gdzie $a$ i $b$są stałymi (rzeczywistymi lub złożonymi). Jeśli powyższe równania nie są spełnione, układ jest nieliniowy. Równanie to może być wykorzystane do sygnałów rzeczywistych i złożonych w dziedzinie czasu i częstotliwości. Jest to takie samo, jak zasada superpozycji musi być ważna. Jak pokazuje Sarwate w komentarzu, nie zapobiega to generowaniu przez system nowych częstotliwości. Prawdopodobnie często jesteśmy przyzwyczajeni do pośredniego zakładania niezmienności czasu. Przyczyną jest prawdopodobnie to, że często możliwe jest odwzorowanie systemu zmieniającego się w czasie na system niezmienny w czasie poprzez zastosowanie jednego lub więcej zewnętrznych sygnałów sterujących.

Po zdefiniowaniu liniowości i wymaganiu systemu niezmiennego w czasie możemy bezpośrednio stwierdzić, że dwa (lub więcej sygnałów) nie mogą zakłócać i generować nowych składników częstotliwości, przy jednoczesnym zachowaniu wymogu liniowości. Zasada superpozycji wynika również bezpośrednio z definicji liniowości.

Również z definicji liniowości wynika koncepcja splotu dla liniowych systemów niezmienniczych w czasie. W przypadku układów nieliniowych mamy na przykład szereg Volterra, który jest wielowymiarową całką splotową - 1-wymiarowa całka splotowa jest szczególnym przypadkiem serii Volterra. Jest to jednak o wiele bardziej skomplikowane niż techniki liniowe. Ale w oparciu o całkę splotu dla układu liniowego wyprowadzenie jest zgodne z przedstawionym przez @sydeulissie.

To demonstrate a simple counter example of a nonlinear relation where new frequencies are generated we could use ${\cal G}: y(t) = x^2(t)$. Let us first show that this is indeed nonlinear. If we apply the input $x_1(t)$ we get the output $y_1(t) = x_1^2(t)$ and if we apply the input $x_2(t)$ we get the output $y_2(t) = x_2^2(t)$. The output $y(t)$ is then:

$$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$$

or:

$$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

and we have thus proved $x^2$ to be nonlinear (which can hardly be surprising). If we apply a single sinusoidal signal $x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ to the system ${\cal G}$ we have the output:

$$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$$

The output here contains a DC component and another component at the frequency $2f_0$. The nonlinear function $x^2$ thus generates new frequency components.

In conclusion it can be observed that a linear system may generate frequency components not present in the input (if the system is time variant). If the system is linear time invariant the output can not include frequency components not present in the input.

Thanks to @Sarwate for the most relevant comment.

As Dilip Sarwate pointed out, only linear shift-invariant (LSIV) systems have the SISO (sinusoid in- sinusoid out) property.

The short answer to your question is that the complex exponentials $e^{\jmath \omega t}$ are are the eigenfunctions of a LSIV system. By the definition of eigenfunction, if the input is eigenfunction (sine/cos can be represented by complex exponential according to Euler's formula), the output is just the product of the input and the corresponding eigenvalue, which could be a complex number, and that's where changes the phase/amplitude come from.