Dyskretna symetria transformaty Fouriera

Czytałem rozdział o dyskretnych transformacjach Fouriera w książce Lyonsa - Zrozumienie cyfrowego przetwarzania sygnałów - i nie mogłem zrozumieć ostatniego akapitu o symetrii.

Istnieje dodatkowa właściwość symetrii DFT, która w tym miejscu zasługuje na wzmiankę. W praktyce czasami wymagane jest określenie DFT rzeczywistych funkcji wejściowych, w których indeks wejściowy$n$jest zdefiniowany zarówno na wartościach dodatnich, jak i ujemnych. Jeśli ta rzeczywista funkcja wejściowa jest parzysta, to$X(m)$jest zawsze realny i równy; to znaczy, jeśli to prawda$x(n) = x(−n)$, następnie, $X_{\textrm{real}}(m)$ jest ogólnie niezerowy i $X_{\textrm{imag}}(m)$wynosi zero. I odwrotnie, jeśli prawdziwa funkcja wejściowa jest nieparzysta,$x(n) = −x(−n)$, następnie $X_{\textrm{real}}(m)$ wynosi zawsze zero i $X_{\textrm{imag}}(m)$ jest ogólnie niezerowy.

Uwaga: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• Po pierwsze, co należy rozumieć przez „nieparzysty” i „parzysty”? Podejrzewam, że to liczba próbek w sygnale wejściowym, ale to prowadzi mnie do drugiego pytania:
• Dlaczego jest $X_{\textrm{imag}}(m)$ zero przy rzeczywistych funkcjach wejściowych, które są parzyste, a dlaczego przy rzeczywistych funkcjach wejściowych, które są nieparzyste, jest $X_{\textrm{real}}(m)$ zero i $X_{\textrm{imag}}(m)$ ogólnie niezerowy?

Parzyste i nieparzyste odnoszą się do symetrii wokół $n = 0$.

Nawet oznacza $x[n] = x[-n]$; możesz dostać tę część$n < 0$ po prostu odzwierciedlając część dla $n > 0$ na $n=0$ linia.

Dziwne znaczy $x[n] = -x[-n]$; możesz dostać tę część$n < 0$ po prostu odzwierciedlając część dla $n > 0$ na $n=0$ linię i pomnożenie jej przez $-1$.

Fala cosinusowa jest parzysta, fala sinusoidalna jest dziwna.

To tylko specjalne przypadki ogólnej symetrii, które mówią

jeśli jest prawdziwy w jednej domenie, jest sprzężony symetrycznie w drugiej.

Koniugat symetryczny oznacza, że ​​rzeczywista część jest parzysta, a część wyobrażona jest nieparzysta. Większość ludzi wie, że sygnał w domenie czasu rzeczywistego jako sprzężone spektrum symetryczne, ale też idzie w drugą stronę: sprzężony sygnał w domenie symetrycznej w czasie ma widmo o wartościach rzeczywistych.

Odpowiedź Hilmara jest oczywiście całkowicie poprawna, ale myślę, że istnieje kilka kwestii, które Lyons nie odniósł w oświadczeniu cytowanym przez OP (a może mówił o nich wcześniej i postanowił nie powtarzać się w akapicie cytowanym przez OP) .

Dyskretna transformata Fouriera (DFT) jest powszechnie opisywana jako transformacja sekwencji $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ o skończonej długości $N$ w innej sekwencji $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ długości $N$ gdzie

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ Ale te formuły można również wykorzystać, gdy $m, n$ są poza zasięgiem $[0, N-1]$ a jeśli to zrobimy, dojdziemy do wniosku, że długość$N$ DFT można postrzegać jako transformację z sekwencji okresowej$x[\cdot]$ do innej sekwencji okresowej$X[\cdot]$, obie rozciągające się do nieskończoności w obu kierunkach, i to $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ i $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$to tylko jeden okres tych nieskończenie długich sekwencji. Zauważ, że nalegamy na to$x[n+iN] = x[n]$ i $X[m+iN] = X[m]$ dla wszystkich $m, n,$ i $i$.

Oczywiście nie w ten sposób dane są często przetwarzane w praktyce. Możemy mieć bardzo długą sekwencję próbek i dzielimy je na bloki o odpowiedniej długości$N$. Obliczamy DFT z$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ tak jak

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ DFT następnego fragmentu $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ tak jak $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ DFT poprzedniego fragmentu $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ tak jak $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ itd., a następnie bawimy się tymi różnymi DFT różnych części, na które podzieliliśmy nasze dane. Oczywiście, jeśli dane są w rzeczywistości okresowe z okresem$N$, wszystkie te DFT będą takie same.

Teraz, kiedy Lyons mówi o ... gdzie indeks wejściowy n jest zdefiniowany zarówno na wartościach dodatnich, jak i ujemnych ... mówi o przypadku okresowym i kiedy mówi, że (rzeczywista) funkcja parzysta ma właściwość $x[n] = x[-n]$, ta właściwość musi obowiązywać dla wszystkich liczb całkowitych$n$. Ponieważ obowiązuje również okresowość, nie tylko to mamy$x[-1] = x[1]$ ale $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$i podobnie $x[-n] = x[n] = x[N-n]$. Innymi słowy, prawdziwa parzysta sekwencja $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$którego DFT jest rzeczywiście równą sekwencją (jak stwierdził Lyons i bardzo ładnie wyjaśniony przez Hilmara) jest koniecznością w formie

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ który jest (oprócz wiodącego $x[0]$) palindromiczny sekwencja . Jeśli dzielisz dane na bloki długości$N$ i obliczanie DFT każdego bloku osobno, wówczas te osobne DFT nie będą miały właściwości symetrii opisanych powyżej, chyba że DFT jest blokiem o tej właściwości palindromowej.

Tylko dla wyjaśnienia funkcji parzystych i nieparzystych,

Parzyste: symetryczne względem osi y Nieparzyste: symetryczne względem początku

I bez wchodzenia w szczegóły matematyczne, DFT funkcji o wartościach rzeczywistych jest symetryczna, tzn. Wynikowa funkcja Fouriera ma zarówno rzeczywiste, jak i urojone części, które są lustrzanymi odbiciami w odniesieniu do komponentu częstotliwości 0. Nie dzieje się tak w przypadku pobrania DFT złożonej funkcji.