Jakie jest prawdziwe znaczenie systemu minimalnej fazy?

29

Jakie jest prawdziwe znaczenie systemu minimalnej fazy ? Czytanie artykułu z Wikipedii i Oppenheim jest pomocą, ponieważ rozumiemy, że dla systemu LTI minimalna faza oznacza, że odwrotność jest przyczynowa i stabilna. (Czyli oznacza to, że zera i bieguny znajdują się wewnątrz koła jednostki), ale co mają z tym wspólnego „faza” i „minimum”? Czy możemy powiedzieć, że system jest fazą minimalną, patrząc w jakiś sposób na odpowiedź fazową DFT?

filters filter-design

— TheGrapeBeyond
źródło

Witamy w Przetwarzaniu sygnału! To świetne pytanie. Przeczytaj nasze FAQ, które zawiera wiele przydatnych informacji na temat strony.

— Phonon

19

Zależność „minimum” do „fazy” w układzie lub filtrze minimum fazowego można zobaczyć, jeśli wykreślisz nieopakowaną fazę względem częstotliwości. Możesz użyć schematu zerowego bieguna odpowiedzi układu, aby pomóc w tworzeniu przyrostowego wykresu graficznego odpowiedzi częstotliwościowej i kąta fazowego. Ta metoda pomaga w tworzeniu wykresu fazowego bez nieciągłości owijania fazowego.

Umieść wszystkie zera wewnątrz okręgu jednostki (lub w lewej połowie płaszczyzny w przypadku ciągłego czasu), gdzie wszystkie bieguny muszą być również dla stabilności systemu. Zsumuj kąty ze wszystkich biegunów i ujemne kąty ze wszystkich zer, aby obliczyć całkowitą fazę do punktu na okręgu jednostkowym, gdy punkt odniesienia odpowiedzi częstotliwościowej porusza się po okręgu jednostkowym. Wykres faza a częstotliwość. Teraz porównaj ten wykres z podobnym wykresem dla schematu zero-biegun z dowolnymi zerami zamienionymi poza kołem jednostki (faza nie-minimalna). Ogólne średnie nachylenie linii ze wszystkimi zerami w środku będzie niższe niż średnie nachylenie dowolnej innej linii reprezentującej tę samą odpowiedź systemu LTI (np. Z zerowym odbiciem poza okręgiem jednostki). Wynika to z faktu, że wszystkie „zwijania” kąta fazowego są w większości anulowane przez „

Taki układ, wszystkie zera wewnątrz okręgu jednostkowego, odpowiada zatem minimalnemu całkowitemu wzrostowi fazy, co odpowiada minimalnemu średniemu całkowitemu opóźnieniu fazy, co odpowiada maksymalnej zwartości w czasie, dla dowolnego (stabilnego) zestawu biegunów i zer z dokładnie ta sama odpowiedź wielkościowa częstotliwości. Zatem związek między „minimum” i „fazą” dla tego konkretnego układu biegunów i zer.

Zobacz także moje stare słowo ze dziwnymi uchwytami w starożytnych archiwach usenet comp.dsp: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

— hotpaw2
źródło

Hmm, ciekawe - więc MOŻEMY powiedzieć, że system jest w fazie minimalnej, patrząc na odpowiedź fazową z jego DFT, a następnie wygląda na to, prawda?

— Spacey

@Mohammad: Jednym z problemów z użyciem DFT do reakcji fazowej jest faza rozpakowywania, która może, ale nie musi mieć unikalnego lub zamkniętego rozwiązania. (Szczególnie problem, jeśli w odpowiedzi impulsowej występują „nieciągłości”).

— hotpaw2

@ hotpaw2 Po rozpakowaniu cofamy moduł 2 * pi lub -2 * pi (dwa sposoby na zrobienie tego), ale nawet wtedy nie sądziłem, że będzie to problem.

— Spacey

2

hotpaw- Świetna analogia. Mam książkę, która zamiast tego korzysta z zasady argumentu ze złożonej analizy. To elegancki dowód, ale nie dla nie-matematyków.

— Bryan

1

@Bryan To wydaje się bardzo interesujące. Jaki jest tytuł tej książki?

— shamisen

9

Jak już widzieliście, faza minimalna ma wiele fizycznych znaczeń i implikacji. Faza, z której pochodzi, jest taka, że dla danej wielkości odpowiedzi częstotliwościowej odpowiada filtrowi, który ma najmniejsze opóźnienie grupowe. Oznacza to, że możesz mieć kilka filtrów o tej samej wielkości odpowiedzi częstotliwościowej, ale jeden z nich można zrealizować przy najmniejszym opóźnieniu filtra. W tym sensie jest wysoce pożądany w systemach sterowania, w których opóźnienie filtrowania może mieć kluczowe znaczenie dla stabilności. Nadużywam tutaj jakiejś notacji, ponieważ faza „opóźnienie” może mieć wiele znaczeń, ale istota rzeczy istnieje (a dla opóźnienia grupowego jest to faktem).

W innych królestwach, jeśli układ jest fazą minimalną, jego odwrotność będzie miała wszystkie bieguny wewnątrz koła jednostki i będzie przyczynowo-skutkowa. Tak więc układ fazy minimalnej ma stabilną odwrotność. Jest to ważne w wielu innych aplikacjach z oczywistych powodów. Jeśli musisz rozwiązać układ równań liniowych, wiedząc, że układ jest fazą minimalną, gwarantuje, że jego odwrotność będzie fazą minimalną, a zatem stabilność jest gwarantowana (poza efektami kwantyzacji).

Patrząc na DFT, może nie być oczywiste, czy system jest w fazie minimalnej. Istnieje związek między wielkością układu fazy minimalnej a jego fazą, ale może nie być to wizualnie oczywiste. Jednak adaptacyjne filtry sieciowe mają tę fajną cechę, że filtry fazy minimalnej można łatwo zidentyfikować, jeśli wszystkie współczynniki odbicia są mniejsze lub równe jeden pod względem wielkości. W ten sposób filtry obliczone adaptacyjnie można określić, jeśli są stabilne w locie przy małej logice.

— Bryan
źródło

4

s

$s$

Ach tak, doskonały punkt. Dla osób niezaznajomionych z transformacją dwuliniową (która skutecznie odwzorowuje lewą płaszczyznę s na koło jednostki na płaszczyźnie z), jest to ważne rozróżnienie. Dzięki.

— Bryan

1

„Zależność” między amplitudą logarytmiczną a fazą minimalną to transformata Hilberta

— Hilmar

Filtr minimalnej fazy wydaje się być IIR, ale jak minimalna jest ich faza w porównaniu do FIR?

— TheGrapeBeyond

2

z_{i}

$z_i$

| z_{i} | > 1

$|z_i| > 1$

z_{i}

$z_i$

\frac{1}{z_{i}^{*}}

$\frac{1}{z_i^*}$

3

\sum_{i = 0}^{k} h [i]^{2} = m i n, k ϵ N

$\sum_{i=0}^{k}h[i]^2 = min, k\epsilon \mathbb{N}$

— Hilmar
źródło

2

h [n]

$h[n]$

2

Czytanie

Ten artykuł wydaje się mieć trochę wiedzy na temat układów faz minimalnych:

John Bechhoefer, „ Kramers-Kronig, Bode, a znaczenie zero ”, American Journal of Physics 79 , 10 (2011).

— nibot
źródło