Różnica między dyskretną transformatą Fouriera i dyskretną transformatą Fouriera

22

Czytałem wiele artykułów na temat DTFT i DFT, ale nie jestem w stanie dostrzec różnicy między nimi, z wyjątkiem kilku widocznych rzeczy, takich jak DTFT idzie do nieskończoności, podczas gdy DFT jest tylko do N-1. Czy ktoś może wyjaśnić różnicę i kiedy tego użyć? Wiki mówi

DFT różni się od dyskretnej transformaty Fouriera (DTFT) tym, że jej sekwencje wejściowe i wyjściowe są skończone; dlatego mówi się, że jest to analiza Fouriera funkcji dyskretnych w dziedzinie skończonej (lub okresowej).

Czy to jedyna różnica?

Edycja: ten artykuł ładnie wyjaśnia różnicę

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
źródło

4

DTFT jest ciągłą funkcją częstotliwości, ale DFT jest dyskretną funkcją częstotliwości.

— John

Kluczową kwestią jest:DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime

@nmxprime Masz na myśli, że DFT jest próbkowaną wersją DTFT?

— endolith

1

@endolith Yes.it is

— nmxprime

Artykuł, który podłączyłeś (strona 2), mówi, że „CTFT dało nam dyskretne spektrum częstotliwości”. Czy to nie źle? Myślałem, że częstotliwość jest ciągła w tym przypadku aperiodycznego sygnału ciągłego w czasie przechodzącego transformatę Fouriera.

— Aditya P,

14

Dyskretna transformata Fouriera (DTFT) to (konwencjonalna) transformata Fouriera sygnału dyskretnego. Jego wydajność ma ciągłą częstotliwość i jest okresowa. Przykład: znaleźć widmo wersją próbkowanego z ciągły w czasie sygnału DTFT mogą być użyte. $x(kT)$ $x(t)$

Dyskretna transformata Fouriera (DFT) może być postrzegana jako próbkowana wersja (w dziedzinie częstotliwości) wyjścia DTFT. Służy do obliczania widma częstotliwości sygnału czasu dyskretnego za pomocą komputera, ponieważ komputery mogą obsłużyć tylko skończoną liczbę wartości. Argumentowałbym przeciwko skończoności wyjścia DFT. Jest to również okresowe i dlatego może być kontynuowane w nieskończoność.

Podsumowując:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Właściwość matematyczny DFT jest to, że zarówno dane wejściowe i wyjściowe są okresowe z długością DFT . Oznacza to, że chociaż wektor wejściowy do DFT jest w praktyce skończony, poprawne jest stwierdzenie, że DFT jest spektrum próbkowanym, jeśli uważa się, że wejście DFT jest okresowe. $N$

— Deve
źródło

1

pan nie myśli, że wejście DTFT jest w skończoności?

— Lutz Lehmann

@LutzL Ogólnie może być nieskończony, tak. Zmienię to. Co z wyjściem DFT: wolisz nazwać to skończonym czy okresowym ?

— Deve

Myślę, że wyjście DFT to N-okresowa, skończona sekwencja

— BaluRaman

1

W DFT wiele zależy od interpretacji. Z technicznego punktu widzenia przekształca to skończone w skończone. Z punktu widzenia obliczania współczynników wielomianu trygonometrycznego można powiedzieć, że przekształca on nieskończony dyskretny okresowy w skończony. Ale można przesunąć okno częstotliwości używanych do reprezentowania sygnału wejściowego, a amplitudy dla wszystkich możliwych częstotliwości ponownie tworzą sekwencję okresową.

— Lutz Lehmann

Aby być bardziej konsekwentnym, wstawiłbym „okresowy” zamiast „skończony” dla danych wejściowych DFT. Jest to bezpośrednia konsekwencja dyskrecji DFT (wyjścia).

— Matt L.

18

w porządku, odpowiem na to argumentem, który mają „przeciwnicy” mojej sztywnej, nazistowskiej pozycji wobec DFT.

po pierwsze, moja sztywna, nazistowska pozycja : DFT i Discrete Fourier Series to jedno i to samo. DFT mapuje jedną sekwencję nieskończoną i okresową, $x[n]$ z okresem $N$ w domenie „czasowej” na inną sekwencję nieskończoną i okresową, $X[k]$ , ponownie z okresem $N$ , w dziedzinie „częstotliwości”. a iDFT odwzorowuje to z powrotem. i są „iniekcyjne”, „odwracalne” lub „jeden do jednego”.

DFT:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

to najbardziej fundamentalnie jest DFT. z natury jest to okresowe lub okrągłe zjawisko.

ale zaprzeczający okresowości lubią to mówić o DFT. to prawda, to po prostu nie zmienia żadnego z powyższych.

Załóżmy więc, że masz sekwencję o skończonej długości $x[n]$ o długości $N$ i zamiast okresowo ją rozszerzać (co z natury robi DFT), dołączasz tę sekwencję o skończonej długości z zerami po lewej i prawej stronie. więc

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Teraz, to nie powtarzające nieskończona sekwencja nie mają DTFT:

DTFT:

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ to transformata Z oceniana w okręgu jednostkowym dla nieskończenie wielu rzeczywistych wartości . teraz, jeśli miałbyś próbować ten DTFT w równo rozmieszczonych punktach na okręgu jednostkowym, z jednym punktem w , dostaniesz $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

dokładnie w ten sposób powiązane są DFT i DTFT. próbkowanie DTFT w jednolitych odstępach czasu w dziedzinie „częstotliwości” powoduje, że w dziedzinie „czasu” pierwotna sekwencja jest powtarzana i przesuwana o wszystkie wielokrotności i dodawana na siebie. to właśnie powoduje jednolite próbkowanie w jednej domenie w drugiej domenie. ale ponieważ uważa się , że ma wartość poza przedziałem , to dodawanie nakładek nic nie robi. okresowo rozszerza niezerową część , naszej oryginalnej sekwencji o skończonej długości, . $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ $x[n]$

— Robert Bristol-Johnson
źródło

3

Przyjęta odpowiedź była dobra, ale znalazłem odpowiedź wnikliwszą. Dziękujemy za zapewnienie faktycznego matematycznego połączenia między DTFT i DFT ... szczególnie próbkowanie widm powodujące okresowość w dziedzinie czasu. To jest kwestia, o której zawsze zapominam.

— rayryeng - Przywróć Monikę

Drugi akapit wydaje się sugerować, że DFT akceptują sekwencje wejściowe o nieskończonej długości. Czy ktoś kiedykolwiek przeprowadził DFT o nieskończonej długości?

— Richard Lyons

hej Rick, dobrze cię tu widzieć z comp.dsp . pamiętam powitanie @PeterK, kiedy po raz pierwszy dokonałem migracji (ale nigdy nie opuszczę comp.dsp ). w każdym razie, w takim samym stopniu, w jakim DFS akceptuje sekwencję wejściową o nieskończonej długości, to stopień, w jakim DFT akceptuje dane wejściowe o nieskończonej długości. mówię tylko, że DFT i DFS są jednym i tym samym.

— Robert Bristol-Johnnson

1

@robert bristow-johnson. to było piękne wytłumaczenie. moje pytanie może być złe, ale przez dyskretną serię Fouriera masz na myśli przypadek, w którym wejście jest ciągłą funkcją okresową, która działa nieskończenie w obu kierunkach, prawda? Z tego, co pamiętam, z lektury książki dovera Georga Silova, jeśli sprawisz, że liczba współczynników Fouriera będzie wystarczająco duża za pomocą wystarczająco drobnej siatki częstotliwości, wówczas szeregi Fouriera mogą dokładnie odtworzyć funkcję ciągłą okresu. to jest fs, o którym mówisz, kiedy mówisz, że to to samo co DFT, prawda? dzięki.

— mark leeds

przez dyskretną serię Fouriera rozumiem to samo, co definicje DFT i iDFT przedstawione w odpowiedzi: i, zarówno dla i , są one okresowe z okresem : a jest dodatnią liczbą całkowitą. to wszystko mam na myśli przez DFS.

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

— Robert Bristol-Johnnson

1

Ponieważ dane wyjściowe DTFT są ciągłe, nie można ich przetwarzać na komputerach. Musimy więc przekonwertować ten ciągły sygnał na dyskretną formę. Jest to nic innego jak DFT jako dalszy postęp w FFT w celu zmniejszenia obliczeń.

— Gaurav Singhal
źródło

0

Jeśli mam rację, nawet jeśli dane wejściowe DFT są okresowe, chociaż liczba próbek jest skończona, matematyka za nimi traktuje je jako nieskończoną sekwencję, która okresowo rozpoczyna Npróbki po jego zakończeniu. Proszę, popraw mnie jeśli się mylę.

— ubuntu_noob
źródło

niektóre w comp.dsp , z którymi miałem argumenty, mogą cię „poprawić”, ale się mylą. nie ma różnicy między DFT a dyskretną serią Fouriera. kompletnie nic.

— Robert Bristol-Johnson

Aby pomóc mi zrozumieć, co tu powiedziano, mam pytanie dotyczące wyniku operacji, którą nazywacie „dyskretną serią Fouriera”. Czy to wyprowadza ciąg liczb lub funkcję ciągłą (równanie)?

— Richard Lyons

-1

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— użytkownik25761
źródło

1

Użyj znaczników lateksowych, aby matematyka była czytelna, i wyjaśnij nieco więcej procesu, który wykonałeś, aby Twoja odpowiedź mogła faktycznie pomóc OP.

— MBaz,