Co należy rozumieć przez „moment widmowy”?

10

Skonsultowałem się z wszechmocnymi wyroczniami Google i Wiki, ale nie mogę znaleźć definicji frazy „moment spektrum”.

Stary tekst roboczy, który czytam, używa go w następujący sposób, określając liczbę przejść przez zero w jednostce czasu w następujący sposób:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Następnie przechodzi do dalszego zdefiniowania liczby ekstremów na jednostkę czasu podanej przez:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

gdzie w końcu mówi: „gdzie $m_i$ jest $i$ moment widma. ”

Czy ktoś to kiedyś spotkał? Jaki jest „moment” widma? Nigdy wcześniej o tym nie słyszałem w literaturze DSP.

frequency-spectrum

— Spacey
źródło

Wspomnienie Skuteczne obliczanie momentów widmowych w celu określenia statystyki losowej odpowiedzi dla momentów widmowych: „Momenty widmowe są obliczane z jednostronnego PSD”

— Laurent Duval

1

Myślałem, że widmowe chwile miały miejsce w filmie Pogromcy duchów! :-)

— Peter K.

9

Przyjmij sygnały dolnoprzepustowe w całym tekście.

Od $X(f)$ jest zwykle wyceniana na podstawie widma mocy $|X(f)|^2$ jest prawdopodobnie lepszym pomysłem, szczególnie jeśli później chcesz wyliczyć pierwiastek kwadratowy. A zatem, $m_k$ jest zdefiniowany jako

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$ Zauważ w szczególności, że

m_{0}

$m_0$ jest mocą sygnału, i

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ Teraz przepustowość Gabora

G

$G$ sygnału jest podawany przez

G = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$ Aby umieścić to w nieco innej perspektywie,

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ jest nieujemną funkcją i „obszarem pod krzywą

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ , „mianowicie.

m_{0}

$m_0$ , to moc sygnału. W związku z tym,

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$ jest efektywnie funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o zerowej średniej, której wariancją jest

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = G^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$ .

Sinusoida częstotliwości $G$ Hz ma $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ zero przejazdów na sekundę. Ponieważ Mohammad czyta starszą książkę, może to wszystko robić z częstotliwością radiową $\omega$ , a zatem jeśli $G$ to przepustowość Gabora w radianach na sekundę, przez którą musimy się podzielić $2\pi$ dający

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero crossings per second.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

Przechodząc do ekstremów The pochodną z $x(t)$ ma transformatę Fouriera $j2\pi f X(f)$ i spektrum mocy $|2\pi f X(f)|^2$ . Jego przepustowość Gabor wynosi

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$ Korzystając z tych samych argumentów jak poprzednio (dwa przecięcia zera pochodnej na okres są takie same jak dwa ekstremy na okres), radian kontra częstotliwość Hertziana, otrzymujemy

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Dilip Sarwate
źródło

Świetna odpowiedź Dilip… ale „Gabor Bandwidth”?… Nigdy wcześniej o tym nie słyszałem i wydaje mi się, że nie mogę uzyskać żadnych informacji z Internetu - skąd wziął się ten wzór? A co dokładnie ma mierzyć?

— Spacey,

Dzięki za linki pdf - choć nie wierzę, że działają. Czy możesz to zweryfikować?

— Spacey,

Powinieneś być ostrożny, jeśli

f

$f$ jest w Hz; w tym przypadku prawidłowy moment widmowy to

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— jankos

@ jankos Czy masz odniesienie do tego, co według ciebie jest poprawną definicją momentu widmowego

m_{k}

$m_k$ ?

— Dilip Sarwate

2

Nie wiem, czy słyszałem już ten termin wcześniej, ale interpretowałbym termin „moment” jako mający analogiczne znaczenie do fizycznych koncepcji środka masy oraz pierwszych i drugich momentów obszaru:

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} X (f) d f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

Oznacza to, że zawartość przy każdej częstotliwości widma jest ważona przez $k$ -te moc częstotliwości, a wynik sumuje się w całym spektrum. Nie jestem pewien, czy tego właśnie chcesz, ale jest to pojęcie momentu dla widma (lub dowolnej funkcji jednej zmiennej, jeśli o to chodzi).

— Jason R.
źródło

1

Wskaźniki, o których wspominasz, to przypadki znormalizowanych momentów lub $L$ -moments . Chwile w przetwarzaniu sygnału są podobne do momentów w fizyce i momentów w statystykach. W fizyce pojęcie momentu to:

wyrażenie obejmujące iloczyn odległości i innej wielkości fizycznej, w ten sposób uwzględnia to, w jaki sposób wielkość fizyczna jest zlokalizowana lub ułożona

Może się to wydawać uogólnieniem pojęcia centrum masy. Średnia, odchylenie standardowe lub skośność i kurtoza są pochodnymi pojęciami i można je obliczyć w dowolnej dziedzinie, na przykład w czasie lub częstotliwości. Zasadniczo $\alpha$ -moment funkcji $g$ ponad domeną $D$ wokół wartości $c$ , jest zdefiniowany w formie integralnej przez:

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} (t - c)^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ lub

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} [t - c |^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$ kiedy był potrzebny. Klasycznie, dla prawdziwych sygnałów

x

$x$ , ze względu na symetrię, w domenie Fouriera z

X (f)

$X(f)$ momenty widmowe są definiowane w odniesieniu do znormalizowanej energii (

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ )

m_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| X (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} d ν} d f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

Patrz na przykład: Efektywne obliczanie momentów widmowych w celu określenia statystyki losowej odpowiedzi dla momentów widmowych: „Momenty widmowe są obliczane z jednostronnego PSD”.

Zamieniono na proporcje $L$ -momenty mogą stać się pozbawionymi skali, bezjednostkowymi wskaźnikami zachowań funkcji, w tym ekstremami, przekraczaniem zera lub rzadkością (z $m_1/m_2$ na przykład) .

— Laurent Duval
źródło