Jak znaleźć odpowiedź impulsową systemu na podstawie jego reprezentacji w przestrzeni stanu za pomocą macierzy przejścia stanu?

Załóżmy, że mamy liniową reprezentację w standardowej notacji w przestrzeni stanów:

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = do x (t) + re u (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Aby uzyskać odpowiedź impulsową, można pobrać transformatę Laplace'a

s X = ZA X + b U

$sX=AX+BU$

Y = do X + re U

$Y=CX+DU$

a następnie rozwiązać dla funkcji przenoszenia, która jest

\frac{Y}{U} = do (s ja - ZA)^{- 1} b + re

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

Podobnie, dla układu dyskretnego, transformata $\mathcal{Z}$

x [n + 1] = ZA x [n] + b u [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = C x [n] + D u [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

jest

\frac{Y}{U} = C (z I - A)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

Proces ten wydaje się nieco długi i pamiętam, że istnieje sposób na znalezienie odpowiedzi impulsowej za pomocą macierzy przejścia stanu, która jest rozwiązaniem dla pierwszych równań każdej pary. Czy ktoś wie jak to zrobić? $x$

impulse-response state-space linear-systems

— Phonon
źródło

$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

x (t) = x_{0} e^{A t} + \int_{0}^{t} e^{A (t - t^{'})} B u (t^{'}) d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

$x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y (t) = C \int_{0}^{t} Ξ (t - t^{'}) B u (t^{'}) d t^{'} + D u (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

$\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = C (s I - A)^{- 1} B U + D U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

co daje taką samą funkcję transferu jak w pytaniu.

Jeśli chodzi o twój komentarz dotyczący długiego podejścia do transformacji Laplace'a, niekoniecznie powiedziałbym, że tak jest. Jednak podejście do macierzy przejścia stanu może być prostsze do wdrożenia , ponieważ kilka operacji z tym związanych można obliczyć za pomocą prostych mnożeń macierzy i nic więcej.

— Lorem Ipsum
źródło

Bardzo fajny opis.

— Jason R