Czy istnieją alternatywy dla transformacji dwuliniowej?

Projektując filtr cyfrowy oparty na filtrze analogowym zwykle używamy transformacji dwuliniowej . W celu przybliżenia dyskretnej funkcji przenoszenia z analogowej (ciągłej) funkcji przenoszenia podstawiamyA ( s $D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

gdzie jest okresem pobierania próbek. Alternatywnie, w celu przybliżenia funkcji ciągłego przenoszenia od dyskretnej funkcji przenoszenia , podstawiamyA a ( s ) D ( z $T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Czy istnieją alternatywne metody wykonywania takich konwersji? Czy są lepsze przybliżenia?

Filtry analogowe są stabilne, jeśli bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny s (rysunek po lewej), a filtry cyfrowe są stabilne, jeśli bieguny znajdują się w okręgu jednostki (rysunek po prawej). Tak więc matematycznie wszystko, co jest potrzebne do konwersji z analogowego na cyfrowy, to mapowanie (konformalne?) Z półprzestrzeni na dysk jednostki i oś na okrąg jednostki . Każda transformacja, która to robi, jest potencjalnym kandydatem na alternatywę dla transformacji dwustronnej.| z | = $\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

Dwa z tych znanych sposobów są impuls sposób niezmienność i dopasowany sposób transformacja z . Koncepcyjnie oba są podobne do próbkowania ciągłego kształtu fali, który znamy. Obie metody oznaczające odwrotną transformatę Laplace'a przez i transformatę Z jako Z , obie metody polegają na obliczeniu odpowiedzi impulsowej filtra analogowego jako$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Istnieją jednak kluczowe różnice między nimi.

Metoda niezmienniczości impulsowej:

W tej metodzie rozszerzasz funkcję przenoszenia analogowego jako ułamki częściowe (nie w dopasowanej transformacie Z, jak wspomniano przez Piotra ) jako

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

gdzie jest stałą, a są biegunami. Matematycznie każdą funkcję przeniesienia o liczniku mniejszym niż mianownik można wyrazić jako sumę ułamków cząstkowych . Tylko filtry dolnoprzepustowe spełniają to kryterium (górnoprzepustowy i pasmowo-pasmowy mają co najmniej ten sam stopień), a zatem metoda niezmiennika impulsowego nie może być użyta do zaprojektowania innych filtrów.α $C_m$$\alpha_m$

Powód, dla którego zawodzi, jest również całkiem jasny. Jeśli miałbyś wielomian w liczniku tego samego stopnia, co w mianowniku, będziesz miał wolnostojący stały człon, który po przekształceniu odwrotnym da funkcję delta, której nie można próbkować.

Jeśli wykonasz odwrotne transformaty Laplace'a i do przodu Z, zobaczysz, że bieguny są przekształcane jako co oznacza, że ​​jeśli twój filtr analogowy jest stabilny, filtr cyfrowy również będzie stabilny . W ten sposób zachowuje stabilność filtra.$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Dopasowana transformata Z.

W tej metodzie zamiast podziału odpowiedzi impulsowej na ułamki częściowe, wykonujesz prostą transformację zarówno biegunów, jak i zer w podobny sposób (dopasowany) jak i (także zachowanie stabilności), dając α m → e α m$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Możesz łatwo zobaczyć ograniczenia obu tych metod. Niezmiennik impulsowy ma zastosowanie tylko wtedy, gdy twój filtr jest dolnoprzepustowy, a dopasowana metoda transformacji Z ma zastosowanie do filtrów pasmowoprzepustowych i pasmowoprzepustowych (i górnoprzepustowych do częstotliwości Nyquista). Są one również w praktyce ograniczone przez częstotliwość próbkowania (w końcu można przejść tylko do pewnego punktu) i cierpią z powodu efektu aliasingu.

Dwuliniowa transformacja jest zdecydowanie najczęściej stosowaną metodą w praktyce, a powyższe dwie są raczej dla celów akademickich. Jeśli chodzi o konwersję z powrotem na analogową, przepraszam, ale nie wiem i nie mogę wiele pomóc, ponieważ prawie nigdy nie używam filtrów analogowych.

$s$$z$

Oto niektóre przykłady:

Dopasowana transformata Z.

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Konwersja każdej części częściowego rozszerzenia ułamka odbywa się bezpośrednio przy użyciu:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Reguła Simpsona

Jedną z interpretacji transformacji dwuliniowej jest to, że jest to sposób transformacji z czasu ciągłego na dyskretny poprzez przybliżoną integrację z wykorzystaniem reguły trapezoidalnej .

Bardziej dokładna technika przybliżonej integracji wykorzystuje regułę Simpsona. Jeśli zastosowane jest to przybliżenie, wówczas otrzymane mapowanie jest następujące:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$