Oszacuj współczynniki szeregu Taylora na podstawie próbek funkcji

10

Powiedzmy, że mam pomiary funkcji , próbkowane przy z pewnym szumem, które można aproksymować przez rozszerzenie szeregu Taylora. Czy istnieje akceptowany sposób oszacowania współczynników tego rozszerzenia na podstawie moich pomiarów? $y = y(x)$ $x_i$

Mógłbym dopasować dane do wielomianu, ale to nie do końca prawda, ponieważ w przypadku serii Taylora aproksymacja powinna być lepsza, im bliżej punktu centralnego, powiedzmy x = 0. Samo dopasowanie wielomianu traktuje każdy punkt jednakowo.

Mógłbym również oszacować różne rzędy pochodnych w punkcie ekspansji, ale potem muszę podjąć decyzję, jakie filtry różnicowe zastosować i ile współczynników filtrów dla każdego. Czy filtry różnych instrumentów pochodnych musiałyby się jakoś do siebie pasować?

Czy ktoś wie o ustalonych metodach? Mile widziane wyjaśnienia lub odniesienia do artykułów.

WYJAŚNIENIE

W odpowiedzi na poniższy komentarz moje próbkowanie jest prostokątnym oknem z nieskończonej funkcji, która niekoniecznie jest ograniczona pasmem, ale nie ma silnych komponentów wysokiej częstotliwości. Mówiąc ściślej, mierzę wariancję estymatora (pomiar przemieszczenia w medycznym sygnale ultradźwiękowym) jako funkcję parametru estymatora (poziom deformacji lub odkształcenia leżącej poniżej tkanki). Mam teoretyczną serię Taylora dla wariancji jako funkcji deformacji i chciałbym porównać ją z tym, co otrzymuję z symulacji.

Podobnym przykładem zabawki może być: powiedzmy, że masz funkcję taką jak ln (x), próbkowaną w odstępach x, z dodanym szumem. Nie wiesz, jaką naprawdę jest funkcją i chcesz oszacować jej szereg Taylora na około x = 5. Więc funkcja jest płynna i powoli zmienia się dla regionu wokół interesującego Cię punktu (powiedzmy 2 <x <8), ale niekoniecznie jest fajna poza regionem.

Odpowiedzi były pomocne, a pewna metoda dopasowania wielomianów metodą najmniejszych kwadratów jest prawdopodobnie drogą, którą należy podążać. Tym, co odróżniałoby szacowaną serię Taylora od normalnego dopasowania wielomianu, jest to, że powinieneś być w stanie ogolić terminy wyższego rzędu i mieć wielomian nadal zbliżony do pierwotnej funkcji, tylko w mniejszym zakresie wokół twojego początkowego punktu.

Być może więc podejście polegałoby na wykonaniu liniowego dopasowania wielomianowego przy użyciu tylko danych zbliżonych do punktu początkowego, a następnie dopasowania kwadratowego z nieco większą ilością danych, sześciennym przy użyciu nieco więcej, itd.

noise estimators approximation

— Matt
źródło

Niektóre pytania (które mogą, ale nie muszą być istotne): Przez próbkowanie, czy masz na myśli, że funkcja jest / była ograniczona pasmem poniżej niektórych częstotliwości Fs / 2? Czy twoje próbki są prostokątnym oknem funkcji nieskończonej, funkcji powtarzalnej czy funkcji pełnej?

— hotpaw2

Jak zauważył Dilip w swojej odpowiedzi, użycie rozszerzenia serii Taylora wymaga znajomości pochodnej funkcji we wszystkich punktach próbkowania. Przypuszczam, że mógłbyś wykorzystać swoje teoretyczne wyrażenie dla pochodnych , ale to nieco zmniejsza użyteczność użycia niezależnej symulacji do potwierdzenia swojej teorii. Aby najlepiej naśladować zachowanie Taylora w odniesieniu do terminów wyższych rzędów, przydatne może być podejście podobne do tego, co zasugerowałeś, używając różnych rzędów dopasowań wielomianowych.

y (x)

$y(x)$

— Jason R

8

Zamiast dokładnego dopasowania wielomianu można użyć dopasowania najmniejszych kwadratów , które znajdzie wielomian określonego rzędu, który minimalizuje całkowity błąd kwadratowy między dopasowaniem a zmierzonymi parami . Może to pomóc złagodzić wpływ hałasu na dopasowanie. $(x_i,y_i)$

Biorąc pod uwagę pomiary funkcji przy wartościach domeny ( ), wybierz porządek wielomianowy (jeśli , to jesteś gotowy na dokładne dopasowanie wielomianowe, ponieważ punkty jednoznacznie określają wielomian rzędu). Następnie ułóż układ równań liniowych w pożądanych współczynnikach wielomianowych : $y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

Problem najmniejszych kwadratów można rozwiązać, ustawiając pomiary w postaci macierz-wektor:

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

Rozwiązanie najmniejszych kwadratów generuje wektor współczynników wielomianowych który minimalizuje całkowity błąd kwadratu w powyższym układzie liniowym. Rozwiązanie można obliczyć jako: $\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

Warto zauważyć, że macierz jest również znana jako pseudoinwersja macierzy . Następnie możesz użyć wektora współczynnika wielomianu najmniejszych kwadratów aby ocenić wielomian przy dowolnych innych wartościach , które chcesz. $(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— Jason R.
źródło

1

W przypadku nierównych odciętych nie różni się to od zastosowania wygładzania Savitzky'ego-Golaya na danych.

Plus 1 za miłą odpowiedź. LSE jest rzeczywiście bardzo wszechobecny.

— Tarin Ziyaee,

6

Na razie ignoruj hałas.

Biorąc pod uwagę punktów gdzie są liczbami odrębnymi, możesz, jak mówisz, dopasować wielomian stopnia co najwyżej przez te punkty. Na przykład interpolacja Lagrange'a jest standardową metodą. Uważa się jednak, że punkty znajdują się na krzywej gdzie niekoniecznie musi być wielomianem (np. Może to być lub itp.) i chciałbyś znaleźć serię Taylora dla tej funkcji . Cóż, opracowanie szeregu Taylora dla w pobliżu $n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ , powiedzmy, wymaga znajomości wartości a także wartości pochodnych przy , podczas gdy wszystko, co jest znane, to wartości przy punktach . Nawet jeśli dla niektórych , aby było znane, nadal konieczne jest oszacowanie dla $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

Oszacowanie wartości pochodnych funkcji przy z jej wartości w wybranych punktach jest dobrze zbadanym problemem w analizie numerycznej, a wzory, które należy zastosować, są łatwo dostępne. To, co nie zostało szczegółowo opisane, lub częściej nie jest wspomniane w pobliżu tych wzorów, polega na tym, że te wzory są otrzymywane przez dopasowanie wielomianu do znanych punktów i oszacowanie jako . Innymi słowy, $g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

Z punktów z , można opracować szereg Taylora tylko do okresu stopnia , a obcięte szereg Taylora tylko , wielomian dopasowany do punktów . $n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

Co więc oznacza dopasowanie wielomianu? Standardowe dopasowanie to interpolacja Lagrange'a, która działa dobrze, gdy nie ma szumu, punkty są równomiernie rozmieszczone, a to mediana wartości . Jeśli występuje szum, dopasowanie do kwadratu wielomianu stopnia (szczegóły w odpowiedzi JasonR ) jest często lepsze, a jeśli chcemy podkreślić dokładność w pobliżu , najmniej ważona - można zastosować dopasowanie do kwadratu. Ważenie składników błędu z punktów w pobliżu więcej niż składników błędu z dużej odległości zmusza algorytm minimalizacji do jeszcze lepszego dopasowania w pobliżu $x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ kosztem gorszej dokładności z dala od . Oczywiście należy również bronić wyboru funkcji ważenia przed osobami, które wolą inne ważenie (lub brak ważenia). $0$

Przykład: Biorąc pod uwagę punkty , wzór interpolacji Lagrange'a daje gdzie współczynniki i są „trzy -punktowe ”formuły dla pierwszej i drugiej pochodnej, jak podano w tabeli 25.2 Abramowitza i Podręcznik funkcji matematycznych Steguna, to znaczy, wzór na interpolację Lagrange'a jest skróconą serią Taylora dla funkcji takiej, że . $3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— Dilip Sarwate
źródło