Jakie są zalety próbkowania pochodnych, jeśli takie istnieją?

W pięciu krótkich opowiadaniach o serialu głównym autor komentuje:$[1]$

Co ciekawe, Shannon wspomina, że ​​inne zestawy danych mogą być również użyte do określenia sygnału ograniczonego przez pasmo - na przykład wartości ƒ i jego pierwszej pochodnej w każdym innym punkcie próbki, wartości ƒ i jego pierwszej i drugie pochodne w co trzecim punkcie próbki i tak dalej.

W artykule wspomniano o kilku historycznych wydarzeniach, ale jestem ciekawy, jakie są „zabójcze aplikacje” do próbkowania pochodnych. Czy to ma inne nazwy? Czy istnieją dalsze uogólnienia tego podejścia?

Świetny byłby prosty przegląd lub wskazówki do niektórych odniesień.

-

1. JR Higgins, Pięć opowiadań o serialu głównym , Bull. Amer. Matematyka Soc. (NS) 12 (1985), no. 1, 45–89. http://bit.ly/plioNg

Papoulis wprowadził uogólnienie twierdzenia o próbkowaniu [1], w którym podejście do pochodnych prób jest jednym przypadkiem. Istota twierdzenia, cytując z [2], brzmi:

W 1977 r. Papoulis wprowadził potężne rozszerzenie teorii próbkowania Shannona, pokazując, że sygnał o ograniczonym paśmie można odtworzyć dokładnie z próbek odpowiedzi układów liniowych niezmienniczych z przesunięciem próbkowanych z częstotliwością 1 /$m$$1/m$ z częstotliwością częstotliwości rekonstrukcji.

Być może jednym z powodów, dla których trudno jest znaleźć ten termin, jest to, że ogólne twierdzenie Papoulisa o próbkowaniu jest wymieniane częściej niż „pobieranie pochodnych”. [2] jest również bardzo dobrym artykułem, który przedstawia szeroki przegląd metod doboru próby w momencie publikacji. [3], również tego samego autora, jest rozszerzeniem [1] na klasę funkcji bez pasma.

Jeśli chodzi o zastosowania, w najnowszym artykule [4], podejście do próbkowania pochodnych jest stosowane do projektowania szerokopasmowych filtrów ułamkowego opóźnienia, a autorzy pokazują, że próbkowanie pochodnej powoduje mniejsze błędy. Z streszczenia:

W tym artykule zbadano konstrukcję szerokopasmowego filtra ułamkowego opóźnienia. Po pierwsze, wzór rekonstrukcji metody próbkowania pochodnych jest stosowany do projektowania szerokopasmowego filtru ułamkowego opóźnienia przy użyciu podstawienia indeksu i metody okienkowej. ... Na koniec pokazano przykłady numeryczne pokazujące, że proponowana metoda ma mniejszy błąd projektowy niż konwencjonalny filtr ułamkowego opóźnienia bez próbkowania pochodnej sygnału.

Chociaż z pewnością jest ich więcej, powstrzymam się od publikowania większej liczby referencji i aplikacji, aby była krótka (i unikała przekształcania jej w listę). Dobrym punktem na początek byłoby sprawdzenie, które artykuły cytowano [1] - [3] i zawężenie listy na podstawie streszczenia.

[1]: A. Papoulis, „Uogólnione rozszerzenie próbkowania”, IEEE Trans. Obwody i systemy , vol. 24, nr 11, s. 652–654, 1977.

[2]: M. Unser, „Pobieranie próbek - 50 lat po Shannon”, Proceedings of IEEE , vol. 88, nr 4, p. 569–587, 2000

[3]: M. Unser i J. Zerubia, „Uogólniona teoria próbkowania bez ograniczeń ograniczających pasmo”, IEEE Trans. Circuits and Systems II , vol. 45, nr 8, p. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng i SL Lee, „Projektowanie szerokopasmowych frakcyjnych filtrów opóźniających z wykorzystaniem pochodnej metody próbkowania”, IEEE Trans. Obwody i systemy I , vol. 57, nr 8, p. 2087-2098, 2010

Nie znam żadnych zastosowań takiego schematu próbkowania. Zazwyczaj trudniej jest dokładnie próbkować pochodną sygnału niż jego wartość chwilową (separatory są wrażliwe na szum o wysokiej częstotliwości ze względu na charakterystykę częstotliwościową w kształcie rampy). Jak wskazał endolith w powyższym komentarzu, jeśli masz w swoich dyskretnych próbkach wystarczającą ilość informacji, aby zrekonstruować oryginalny sygnał, możesz obliczyć wszystkie pochodne, które chcesz.

To bardzo fajny artykuł, do którego linkujesz (wcześniej go nie czytałem), a tak naprawdę odpowiedź, której szukasz, znajduje się w tym samym artykule w § 2.3! Powtórzyłem poniżej istotną część § 2.3.

2.3. Pochodne pobieranie próbek

Aby zilustrować praktyczną sytuację próbkowania, J. Fogel (1955) przytoczył przykład tablicy przyrządów pilota samolotu, która tradycyjnie składa się z tarcz ze wskaźnikami informującymi o wysokości, położeniu, prędkości itp. Piloci skanują swoje instrumenty , uzyskiwanie informacji od dowolnego z nich mniej więcej okresowo. Możliwe jest, że informacje o pochodnych mogłyby być również dostępne dla pilota; na przykład wysokościomierz zostałby zauważony jako „odwijający się” w alarmującym tempie, gdyby samolot nurkował w nosie! Można sobie wyobrazić, że można również zaobserwować przyspieszenie wskaźnika;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Uważam, że nadal jest to bardzo ważne zastosowanie próbkowania pochodnych, ponieważ samoloty nie wyszły z mody. Mogło być kilka innych postępów technologicznych (których nie jestem świadomy), które mogą sprawić, że korzystanie z próbkowania pochodnych będzie w dzisiejszych czasach niepotrzebne, ale kwestia nadal pozostaje.

LJ Fogel (1955), Uwaga na temat twierdzenia o pobieraniu próbek , IRE Trans. Poinformować. Teoria 1 , 47–48

DL Jagerman i LJ Fogel (1956), Niektóre ogólne aspekty twierdzenia o próbkowaniu , IEEE Trans. Poinformować. Teoria 2 , 139–156