Gęstość widmowa mocy vs Gęstość widmowa energii

Na Wikipedii czytam :

Gęstość widmowa mocy:

Powyższa definicja gęstości widmowej energii jest najbardziej odpowiednia dla stanów nieustalonych , tj. Sygnałów impulsowych, dla których istnieją transformaty Fouriera sygnałów . W przypadku sygnałów ciągłych opisujących na przykład stacjonarne procesy fizyczne bardziej sensowne jest zdefiniowanie gęstości widmowej mocy (PSD), która opisuje, w jaki sposób moc sygnału lub szeregu czasowego rozkłada się na różne częstotliwości, jak w prostym przykładzie podane wcześniej.

Nie do końca rozumiem ten akapit. Pierwsza część mówi, że „ dla niektórych sygnałów transformacja Fouriera nie istnieje ”.

Dla jakich sygnałów (w kontekście, o którym rozmawiamy) transformacja Fouriera nie istnieje, a zatem musimy skorzystać z PSD, zamiast korzystać z gęstości widmowej energii?
Dlaczego podczas uzyskiwania gęstości widmowej mocy nie możemy jej obliczyć bezpośrednio? Dlaczego musimy to oszacować ?
Wreszcie na ten temat przeczytałem o metodach, które używają Kayser-Windows podczas obliczania PSD w czasie. Jaki jest cel tych okien w oszacowaniu PSD?

power-spectral-density

— Amelio Vazquez-Reina
źródło

Krótka odpowiedź na jedno z twoich pytań: dla sygnału deterministycznego

możesz obliczyć jego gęstość widmową mocy. Jednak gęstość widmowa mocy jest również definiowana dla stacjonarnych losowych procesów o szerokim zasięgu . W tym kontekście PSD jest zdefiniowane jako transformata Fouriera funkcji autokorelacji procesu. W tym scenariuszu zazwyczaj nie znasz dokładnej funkcji autokorelacji konkretnego losowego procesu, który mógłbyś obserwować, więc próbujesz oszacować jego PSD na podstawie twoich obserwacji.

x (t)

$x(t)$

— Jason R

Sygnał deterministyczny

dla którego

x (t)

$x(t)$

istnieje nazywa się (skończonym)sygnałemenergetycznymi istnieje jego transformata Fouriera. Ale jeśli granica nie istnieje, transformacja Fouriera nie musi istnieć w tym sensie, że

lim_{T. \to \infty} \int_{- T.}^{T.} | x (t) |^{2)} re t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

jest całką rozbieżną. Jeśli

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

istnieje, sygnał nazywa sięsygnałemmocy, a jego transformata Fouriera istnieje w uogólnionym sensie (co oznacza, że zwykle występują w nim impulsy).

lim_{T. \to \infty} \frac{1}{2) T.} \int_{- T.}^{T.} | x (t) |^{2)} re t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

— Dilip Sarwate

Losowy proces nigdy nie jest niekończącym się zjawiskiem nieokresowym, więc przyjęcie transformacji Fouriera jego realizacji nie ma sensu, nie jest również możliwe. Jeśli jednak proces losowy jest stacjonarny, to na pewno ma on pewną skończoną moc na pewnym paśmie częstotliwości. Teraz pojawia się pytanie, w jaki sposób obliczyć moc tego stacjonarnego losowego procesu (transformacja Fouriera nie jest możliwa do bezpośredniego pobrania)? Co więc robić? znajdujemy funkcję autokorelacji danego procesu losowego, którego transformata Fouriera zawsze istnieje. Na koniec bierzemy czterokierunkową transformację tej funkcji autokorelacji, aby uzyskać gęstość widmową mocy danego procesu stacjonarnego.

$\infty$ $\infty$

— kaka
źródło

Kiedy powiedziałeś:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- dlaczego? I czy koniecznie musi być stacjonarny, aby mieć skończoną moc na pewnym paśmie częstotliwości?

— Amelio Vazquez-Reina

Procesy stacjonarne zawsze mają skończoną średnią i skończoną wariancję. Oznacza to, że proces strategiczny ma zawsze skończoną moc. Ponieważ moc jest skończona, oznacza to, że gęstość widmowa mocy procesu stacjonarnego jest skończona w pewnym paśmie częstotliwości. (pasmo częstotliwości może być nieskończone).

— kaka

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

To jest niepoprawne. Zobacz drugi akapit tej odpowiedzi, aby uzyskać kontrprzykład.

— Dilip Sarwate