Jaki jest stan techniki w wysoce oscylacyjnych obliczeniach całkowych?

23

Jaki jest stan techniki w przybliżeniu całek silnie oscylacyjnych zarówno w jednym wymiarze, jak i w wyższych wymiarach z dowolną precyzją?

quadrature precision numerical-analysis

— Ćwiartka
źródło

Jego zła ... jak dotąd ogólna metoda ... Po prostu wiele prób, ale spodziewaj się, że od czasu do czasu się nie powiedzie ... Niektóre artykuły twierdzą, że mają główną wygraną, ale kiedy brzmi to zbyt dobrze, aby mogło być prawdziwe ... to jest.

@Gigi: Witamy w SciComp! Twój komentarz jest trochę niejasny; czy mógłbyś wyjaśnić, dlaczego uważasz, że aktualny stan wiedzy w zakresie przybliżania całek silnie oscylacyjnych jest zły?

— Geoff Oxberry

Cóż, to prawda, że nie ma jeszcze „magicznej kuli” w obliczeniach całek silnie oscylacyjnych, ale robimy to, co mamy, i zawsze jesteśmy wdzięczni, jeśli działają.

— JM

19

Nie jestem do końca zaznajomiony z tym, co teraz zrobiono dla kubatur (integracja wielowymiarowa), więc ograniczę się do formuł kwadraturowych.

Istnieje wiele skutecznych metod kwadratury całek oscylacyjnych. Istnieją metody odpowiednie dla skończonych całek oscylacyjnych i istnieją metody dla nieskończonych całek oscylacyjnych.

W przypadku nieskończonych całek oscylacyjnych dwie bardziej skuteczne metody to metoda Longmana i zmodyfikowana podwójna kwadratura wykładnicza z powodu Ooury i Mori. (Ale zobacz także te dwa artykuły Arieha Iserlesa).

Metoda Longmana polega na przekształceniu całki oscylacyjnej w szereg naprzemienny przez podzielenie przedziału całkowania, a następnie zsumowanie przemiennego szeregu metodą transformacji sekwencji. Na przykład podczas całkowania całki oscylacyjnej formy

\int_{0}^{\infty} fa (t) grzech t re t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

jeden zamienia to na przemienną sumę

\sum_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} fa (t) grzech t re t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

Warunki tej przemiennej sumy są obliczane za pomocą pewnej metody kwadraturowej, takiej jak schemat Romberga lub kwadratura Gaussa. Oryginalna metoda Longmana wykorzystywała transformację Eulera , ale nowoczesne implementacje zastępują Eulera bardziej wydajnymi metodami przyspieszenia konwergencji, takimi jak transformacja Shanksa lub transformacja Levina .

Natomiast metoda podwójnej kwadratury wykładniczej dokonuje sprytnej zmiany zmiennych, a następnie wykorzystuje regułę trapezoidalną do numerycznej oceny transformowanej całki.

W przypadku skończonych całek oscylacyjnych Piessens (jeden z autorów QUADPACK) i Branders w dwóch artykułach szczegółowo opisują modyfikację kwadratury Clenshawa-Curtisa (tj. Konstruowanie wielomianowej ekspansji Czebyszewa nieoscylacyjnej części całki). Z drugiej strony metoda Levina wykorzystuje metodę kolokacji dla kwadratury. (Powiedziano mi, że jest teraz bardziej praktyczna wersja starego trybu gotowości, metoda Filona, ale nie mam z tym doświadczenia).

Są to metody, które od razu pamiętam; Jestem pewien, że zapomniałem o innych dobrych metodach całkowania oscylacyjnego. Zmienię tę odpowiedź później, jeśli ją zapamiętam.

— JM
źródło

11

$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

Początkowo metody integracji oscylacyjnej koncentrowały się na określonych oscylatorach. Jak powiedział JM , do najważniejszych należą metoda Filona i metoda Clenshawa-Curtisa (te dwie są ze sobą ściśle powiązane) dla całek o skończonym zakresie oraz metody oparte na ekstrapolacji szeregów oraz metoda podwójnego wykładniczego metody Ooura i Mori dla całek o nieskończonym zakresie.

Niedawno znaleziono kilka ogólnych metod. Dwa przykłady:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
Metoda Huybrechsa i Vandewalle'a oparta na kontynuacji analitycznej wzdłuż złożonej ścieżki, w której całka nie jest oscylacyjna ( Huybrechs i Vandewalle 2006 ).

W przypadku bardziej ogólnych metod nie jest konieczne rozróżnienie między metodami dla całek o skończonym i nieskończonym zakresie, ponieważ transformacja zagęszczająca może być zastosowana do całki o nieskończonym zakresie, co prowadzi do całki oscylacyjnej o skończonym zakresie, którą nadal można rozwiązać za pomocą metody ogólnej, choć inny oscylator.

Metodę Levina można rozszerzyć na wiele wymiarów poprzez iterację wymiarów i innymi sposobami, ale o ile wiem, wszystkie metody opisane w literaturze mają punkty próbne, które są zewnętrznym produktem jednowymiarowych punktów próbnych lub coś innego który rośnie wykładniczo wraz z wymiarem, więc szybko wymyka się spod kontroli. Nie znam bardziej wydajnych metod dla dużych wymiarów; jeśli można znaleźć tę próbkę na rzadkiej siatce w dużych wymiarach, przydałaby się w aplikacjach.

Tworzenie automatycznych procedur dla bardziej ogólnych metod może być trudne w większości języków programowania (C, Python, Fortran itp.), W których normalnie spodziewałbyś się zaprogramować integrand jako funkcję / procedurę i przekazać ją do procedury integratora, ponieważ im więcej ogólne metody muszą znać strukturę całki (które części wyglądają oscylacyjnie, jaki typ oscylatora itp.) i nie mogą traktować go jako „czarnej skrzynki”.

— Andrew Moylan
źródło

Papier Huybrechs / Vandewalle to coś, czego jeszcze nie widziałem, więc +1 za to. Wygląda to podobnie do badań przeprowadzonych przez Temme i innych w celu oceny funkcji specjalnych, z tym wyjątkiem, że w Huybrechs / Vandewalle nie występują asymptotyczne ekspansje. Dodatkowo, myślę, że podobne podejście zostało zastosowane w przypadku pierwszego problemu stu cyfrowego wyzwania Trefethena przez kilka solverów.

— JM

2

Możesz także sprawdzić pracę Marnix Van Daele i współautorów. Zobacz na przykład to i to .

— GertVdE
źródło