Wady popularnych schematów dyskretyzacji dla symulacji CFD

Pewnego dnia mój instruktor obliczeniowej dynamiki płynów był nieobecny i wysłał doktoranta, aby go zastąpił. W wykładzie, który wygłosił, zdawał się wskazywać na kilka wad związanych z różnymi schematami dyskretyzacji symulacji przepływu płynu:

Metoda różnic skończonych: Trudno jest zachować ochronę i ubiegać się o nieregularne geometrie

Metoda objętości skończonej: tendencyjnie dąży do krawędzi i fizyki jednowymiarowej.

Metoda elementów skończonych: Trudno jest rozwiązać równania hiperboliczne za pomocą MES.

Nieciągły Galerkin: To najlepszy (i najgorszy) ze wszystkich światów.

Podział wahań: Nie są jeszcze szeroko stosowane.

Po wykładzie próbowałem go zapytać, skąd wziął te informacje, ale nie podał żadnego źródła. Próbowałem też zachęcić go do wyjaśnienia, co miał na myśli mówiąc, że DG jest „najlepszym i najgorszym ze wszystkich światów”, ale nie mogłem uzyskać jasnej odpowiedzi. Mogę tylko założyć, że do tych wniosków doszedł z własnego doświadczenia.

Z własnego doświadczenia mogę jedynie zweryfikować pierwsze twierdzenie, że FDM trudno jest zastosować do nieregularnych geometrii. W przypadku wszystkich innych roszczeń nie mam wystarczającego doświadczenia, aby je zweryfikować. Jestem ciekawy, jak dokładne są te twierdzone „wady” ogólnie dla symulacji CFD.

Proponowane cechy są rozsądne w tym sensie, że w przybliżeniu reprezentują popularną opinię. To pytanie ma ogromny zasięg, więc teraz zrobię tylko kilka obserwacji. Mogę opracować w odpowiedzi na komentarze. Aby uzyskać bardziej szczegółową pokrewną dyskusję, zobacz Jakie są kryteria wyboru między różnicami skończonymi a elementami skończonymi?

• Konserwatywne metody różnic skończonych niskiego rzędu są łatwo dostępne dla nieustrukturyzowanych siatek. Inną sprawą są nieoscylacyjne metody FD wysokiego rzędu. W schematach WENO o skończonej różnicy fizyka pojawia się w podziale strumienia, który nie jest dostępny dla wszystkich solverów Riemanna.

• Metody o skończonej objętości działają dobrze w wielu wymiarach, ale aby przejść powyżej drugiego rzędu dla ogólnych struktur przepływu, potrzebujesz dodatkowych punktów kwadratury powierzchni i / lub poprzecznych rozwiązań Riemanna, znacznie zwiększając koszt w stosunku do metod FD. Jednak te metody FV mogą być stosowane do nieładnych i nieustrukturyzowanych siatek i mogą wykorzystywać dowolne solwery Riemanna.

• W przypadku CFD można stosować ciągłe metody elementów skończonych, ale stabilizacja staje się delikatna. Zwykle nie jest praktyczne stosowanie metod ściśle nieoscylacyjnych, a stabilizacja często wymaga dodatkowych informacji, takich jak entropia. Gdy stosowana jest spójna macierz masy, wyraźne skracanie czasu staje się znacznie droższe. Ciągłe metody Galerkina nie są lokalnie konserwatywne, co powoduje problemy w przypadku silnych wstrząsów. Zobacz także Dlaczego lokalna ochrona jest ważna przy rozwiązywaniu PDE?

• Nieciągłe metody Galerkina mogą wykorzystywać dowolny solver Riemanna do łączenia elementów. Mają lepsze właściwości stabilności nieliniowej niż inne popularne metody. DG jest również dość skomplikowany w implementacji i zasadniczo nie jest monotonowy wewnątrz elementu. Istnieją limity dla DG, które zapewniają dodatnią lub maksymalną zasadę.

• Istnieją inne metody, takie jak różnica widmowa (np. Wang i in. 2007 lub Liang i in. 2009 ), które mogą być bardzo wydajne (jak różnica skończona), a jednocześnie mają większą elastyczność geometryczną i dokładność rzędu.

Przepływy o dużej liczbie Reynoldsa mają cienkie warstwy przyścienne, które wymagają wysoce anizotropowych elementów do skutecznego rozwiązania. W przypadku elementów nieściśliwych lub prawie nieściśliwych powoduje to znaczne problemy w przypadku wielu dyskretyzacji. Aby uzyskać dodatkową dyskusję, głównie z perspektywy metod elementów skończonych, zobacz Jakie przestrzenne dyskretyzacje działają dla nieściśliwego przepływu z anizotropowymi siatkami granicznymi?

W przypadku stałych problemów atrakcyjna jest możliwość efektywnego wykorzystania nieliniowej wielosieciowej (FAS). Metody FD, FV i DG mogą zasadniczo efektywnie wykorzystywać FAS, ponieważ z grubsza mówiąc,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Ten stosunek jest często większy niż 10 dla ciągłych metod elementów skończonych. Jednak stosunek ten nie jest wystarczający dla wydajnego FAS z wygładzaniem punktowym lub elementarnym. Konieczne jest także posiadanie dyskretyzacji aliptycznej w celu zastosowania do korekcji wad lub w inny sposób zmodyfikowania cyklu wielosiatkowego. W celu dalszej dyskusji zobacz: Czy istnieje algorytm wielosiatkowy, który rozwiązuje problemy Neumanna i ma współczynnik zbieżności niezależny od liczby poziomów? Pozytywna odpowiedź na to pytanie badawcze potencjalnie zapewniłaby skuteczny FAS dla ciągłych elementów skończonych.$h$

W skrócie dla DG:

Konsekwencją złagodzenia wymogów ciągłości ponad granicami elementów jest to, że liczba zmiennych w DG-FEM jest większa niż w przypadku ciągłego odpowiednika dla tej samej liczby elementów.

Z drugiej strony ze względu na lokalne sformułowanie (pod względem pierwiastków) mamy następujące zalety:

• Warunki niestacjonarne i źródłowe są całkowicie rozdzielone między elementami. Macierze masy można odwracać na poziomie elementu.
• Łatwiejsza równoległość.
• Adaptacyjne udoskonalenia (h-, p- i hp) są łatwe - nie ma potrzeby globalnej numeracji węzłów.