Czy istnieje algorytm wielosiatkowy, który rozwiązuje problemy Neumanna i ma współczynnik konwergencji niezależny od liczby poziomów?

Metody wielosiatkowe zwykle rozwiązują problemy Dirichleta na poziomach (np. Punkt Jacobi lub Gauss-Seidel). W przypadku stosowania ciągłych metod elementów skończonych montaż mniejszych problemów Neumanna jest znacznie tańszy niż montaż małych problemów Dirichleta. Nie nakładające się metody dekompozycji domen, takie jak BDDC (jak FETI-DP), można interpretować jako metody wielosiatkowe, które rozwiązują „przypięte” problemy Neumanna na poziomach. Niestety numer warunku dla wielopoziomowych skal BDDC jak

do {(1 + \log (\frac{H.}{h}))}^{2) L.}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

gdzie jest liczbą poziomów, a jest współczynnikiem zgrubienia. Natomiast liczba warunków dla metod wielosiatkowych z wygładzaczami opartych na problemach Dirichleta ma liczbę warunków niezależną od liczby poziomów. $L$ $H/h$

Czy istnieje sposób na rozwiązanie „przypiętych” problemów Neumanna bez utraty niezależności od poziomu?

pde multigrid

— Jed Brown
źródło

Uwaga: jest to otwarte pytanie badawcze, opublikowane tutaj jako wyzwanie, ponieważ jest to problem praktyczny, który wydaje się przeoczany przez wielu analityków pracujących w tym obszarze.

— Jed Brown,

Trudno powiedzieć, co dokładnie odpowiada blokowi „Przypięty Neumann” płynniej w kontekście wielu sieci, przynajmniej jeśli spodziewasz się, że będzie on pełnił tę samą rolę, co w kontekście DD. Czy mógłbyś rozwinąć jakieś podejrzenia, jakie możesz mieć?

— Peter Brune,

Nie jestem pewien, jak różni się to od BDDC i nie jest to bardzo dokładnie analizowane, ale wydawało mi się to interesujące, kiedy go wcześniej czytałem:

Równoległy, wielosieciowy solver Poissona do symulacji płynów na dużych siatkach

— celion
źródło

W pracy wykorzystano metody różnic skończonych, dla których naturalne jest budowanie lokalnych problemów Dirichleta. Używają tłumionej wygładzarki Jacobi (problemy jednopunktowe Dirichleta). Ma mało pamięci (typowe dla tej klasy metod) i wykorzystuje stopniową interpolację siatki (nietypową). Może to być dobry papier (nie przeczytałem go uważnie), ale nie ma to znaczenia dla tego pytania.

— Jed Brown