Jakie dyskretyzacje przestrzenne działają dla przepływu nieściśliwego z anizotropowymi siatkami granicznymi?

Przepływy o dużej liczbie Reynoldsa wytwarzają bardzo cienkie warstwy przyścienne. Jeśli rozdzielczość ściany jest używana w symulacji dużego wiru, współczynnik kształtu może być rzędu . Wiele metod staje się niestabilnych w tym systemie, ponieważ stała inf-sup degraduje się jako pierwiastek kwadratowy współczynnika kształtu lub gorzej. Stała inf-sup jest ważna, ponieważ wpływa na liczbę warunków układu liniowego i właściwości aproksymacyjne rozwiązania dyskretnego. W szczególności następujące ograniczenia a priori ograniczają dyskretny błąd (Brezzi i Fortin 1991)$10^6$

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

gdzie $\mu$ jest lepkością dynamiczną, a $\beta$ jest stałą inf-sup. Z tego wynika, że ​​jako $\beta \to 0$ aproksymacje prędkości i (zwłaszcza) stają się gorsze niż najlepsze dostępne w przestrzeni elementów skończonych (tj. Stała optymalności Galerkina rośnie wraz z $\beta^{-1}$ i $\beta^{-2}$ odpowiednio).

Jakie metody mają jednolitą stabilność inf-sup niezależnie od współczynnika kształtu?

Które z nich można stosować z nieustrukturyzowanymi siatkami?

W jaki sposób szacunki uogólniają się na przybliżenia najwyższego rzędu?

Schematy różnic skończonych MAC (Harlow i Welch 1965) są jednolicie stabilne, ale wymagają siatek o gładkiej strukturze i są dokładne tylko drugiego rzędu.

Metody elementów skończonych są preferowane w przypadku metod niestrukturalnych i wysokich. W przypadku ciągłych metod elementów skończonych Galerkina nie ma znanych przestrzeni, które mają optymalne właściwości aproksymacyjne i są jednakowo stabilne.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ ma optymalne właściwości aproksymacyjne i jest lokalnie konserwatywny, ale stała inf-sup degraduje się jako pierwiastek kwadratowy współczynnika kształtu. Szczegóły patrz Bernardi i Maday 1999.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ ma stałą inf-sup niezależnie od proporcji i jest lokalnie konserwatywna, ale stała inf-sup jest skalowana jako wraz ze wzrostem kolejności wielomianów (Maday i in. 1992) na siatkach o regularnych kształtach. W przypadku siatek z wiszącymi węzłami lub ponownie wprowadzonymi narożnikami ta granica jest ostra w 2D (Schoetzau i in. 1998), ale dalej zmniejsza się do w 3D (Toselli i Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• Obróconym stwierdzone: niezgodne z elementem z Rannacher & Turek 1994 jest jednolicie stabilne, posiada optymalne właściwości aproksymacji i jest lokalnie konserwatywny, ale nie spełnia nierówność dyskretnej Korn, więc potrzebuje korekt granicznych dla pewnych warunków brzegowych i nie mogą być wykorzystywane do zmienne przepływy lepkości. Późniejsza praca autorów usiłowała ustabilizować te metody za pomocą strumieni krawędziowych, ale wynikające z nich dyskretyzacje tracą wiele atrakcyjnych właściwości wydajnościowych.$Q_1-P_0$

• Ainsworth i Coggins 2000 konstruują wysoce techniczne przestrzenie, które działają nieco lepiej, ale wydają się mieć ograniczoną użyteczność.

W przypadku nieciągłego Galerkina obraz jest nieco lepszy:

• Przestrzeń nieciągła jest jednorodnie stabilna i ma optymalne właściwości aproksymacyjne (Schoetzau, Schwab i Toselli 2004). Ta kombinacja nie jest dostępna w przypadku przestrzeni o stałej prędkości. Stała inf-sup nadal zależy od stopnia wielomianu, jednak skaluje się jako .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$