Metoda elementów skończonych a metoda rozszerzonych elementów skończonych (MES vs XFEM)

Jakie są główne różnice między FEM a XFEM? Kiedy powinniśmy (nie) korzystać z XFEM zamiast FEM i odwrotnie? Innymi słowy, kiedy napotykam nowy problem, skąd mogę wiedzieć, z którego z nich skorzystać?

— Anh-Thi DINH
źródło

Przez większość czasu, gdy spotkałem XFEM, chodziło o nieciągłości związane z propagacją pęknięć i pękaniem w mechanice brył. Jednak tak naprawdę nie widziałem, żeby był używany poza tą aplikacją.

— Paweł

W rzeczywistości istnieje jeszcze wiele innych pól, które również wykorzystują XFEM do rozwiązania. Dlatego muszę znać sposób rozpoznawania tej metody za każdym razem, gdy zaczynam rozwiązywać problemy.

— Anh-Thi DINH

Odpowiedzi:

Metoda elementów skończonych (MES) jest metodą nadrzędną, która zainspirowała wiele, wiele innych metod i metod, które w rzeczywistości są MES, ale udają, że nie są.

W metodzie elementów skończonych „funkcje kształtu” służą do zapewnienia przestrzeni aproksymacyjnej, dzięki czemu rozwiązanie może być reprezentowane przez wektor. W klasycznym MES tymi funkcjami kształtu są wielomiany.

W metodzie rozszerzonego elementu skończonego (XFEM) dodatkowe funkcje „wzbogacania” służą do przybliżenia rozwiązania oprócz funkcji kształtu wielomianowego. Te funkcje wzbogacania są wybierane tak, aby miały właściwości, za którymi znane jest rozwiązanie.

Najbardziej oczywistymi funkcjami wzbogacania XFEM są funkcje mocy wprowadzone w ostrych pęknięciach w rogach, aby przedstawić osobliwości w gradiencie rozwiązania (tj. Osobliwość naprężenia dla problemów mechaniki bryły). XFEM może być używany do innych funkcji wzbogacania i innych domen rozwiązań (w szczególności do wymiany ciepła), ale nazwa ta jest synonimem analizy złamań.

Różnica między różnymi metodami - czy to XFEM, czy nie? Itd. - jest trudna, subtelna i nieważna.

Jeśli chodzi o zastosowanie, XFEM widzi bardzo mało praktycznego zastosowania. Istnieje kilka aplikacji w prawdziwych kodach elementów skończonych, w szczególności Abaqus, ale nie spotkały się one z powszechną akceptacją.

Dla prawie wszystkich problemów praktycznych zastosowana zostanie klasyczna MES. W przypadku większości problemów z analizą pęknięć można nadal stosować klasyczne MES z odpowiednim udoskonaleniem siatki i / lub udoskonaleniem p w obszarze końcówki pęknięcia. Można również zastosować inne, mniej rygorystyczne modele pękania.

— Mikrofon
źródło

Bez chęci oderwania się od tej (doskonałej) odpowiedzi, pojedyncze funkcje, które reprezentują komponenty rozwiązania w rogach ponownej rejestracji, są w rzeczywistości typem

r^{α}

$r^{\alpha}$ gdzie

r

$r$ to odległość do rogu,

0 < α < 1

$0<\alpha<1$ dla przemieszczenia (rozwiązanie) i

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ na stres (jego pochodna).

— Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth, Thanks! Zredagowałem swoją odpowiedź, mówiąc „funkcje władzy”, co chciałem umieścić na pierwszym miejscu, choć pozostaje nieprecyzyjne. Prawie umieściłem sqrt (r) (dla zamkniętego pęknięcia), aby namalować wyraźniejszy obraz, ale nie byłem pewien, czy to odwróci uwagę. Wiem, że jest poważna implementacja XFEM (niektóre z nich studiowałem, a innych nie).

— Mike

@ Mike: kolejnym mniej związanym pytaniem jest to, jaka jest różnica między PEM-bąbelkiem FEM a XFEM? Czy możesz mi pokazać?

— Anh-Thi DINH

@PoBo, podobieństwo jest niewielkie. Obie metody wymagają dodania funkcji kształtu bez zmiany siatki i obie oparte są na tej samej podstawowej matematyce wspólnej dla całej rodziny MES, ale na tym kończy się podobieństwo.

— Mike

Jeśli nie rozumiesz dobrze wersji P lub funkcji funkcji kształtu bąbelka P1, możesz wypróbować inne pytanie na najwyższym poziomie lub wybrać jedną z książek na ten temat (Szabo i Babuska są ogólnie dość rygorystyczni, ale znacznie mniej niż inne obejmujące wersję p).

— Mike

Zarówno Mike'a odpowiedź i Jeda jeden opisać dobrze dychotomii XFEM / MES i prawidłowo podkreślić, że najważniejszym obszarem zastosowania jest 3D Fracture Mechanics, gdzie masz pęknięcia, czyli przemieszczenie nieciągłość całej powierzchni wewnątrz domeny.

Pęknięcia są trudne do modelowania w klasycznym MES z dwóch powodów:

Siatka musi być spójna w poprzek pęknięcia: ściślej mówiąc, pęknięcie musi znajdować się na granicy poddomeny FE. Szczelina nie może leżeć w środku (przejść) elementu skończonego.
Pojedyncze pole naprężenia na czubku pęknięcia wymaga specjalnych elementów i / lub technik zazębienia (elementy ćwierć punktu, skupiona siatka), które należy modelować z dobrą dokładnością.

Z inżynieryjnego punktu widzenia w mechanice pękania występują dwa główne typy problemów:

Obliczanie współczynnika natężenia stresu ,
analiza propagacji pęknięć, np. w analizie zmęczenia lub tolerancji na uszkodzenia.

Dla pierwszego rodzaju problemu klasycznego FEM jest więcej niż wystarczające i jest standardowe narzędzie inżynierii. (Jest tak, ponieważ na szczęście istnieją metody energetyczne do oceny czynników intensywności naprężeń, które nie są wrażliwe na błędy numeryczne w pobliżu czubka pęknięcia.)

Analiza propagacji pęknięć jest zupełnie inną historią: w większości przypadków nie znasz wcześniej ścieżki pęknięcia, dlatego konieczne jest częste ponowne jej usuwanie. Główną obietnica XFEM jest umożliwienie propagacji pęknięć Wewnątrz stałe FEM mesh, szczelina cięcia drogę nie tylko na granicy między subdomen, ale wewnątrz FE to sami.

XFEM to stosunkowo nowa technika, wciąż daleka od bycia standardowym narzędziem inżynieryjnym. Moja odpowiedź na pytanie OP, przynajmniej w zakresie mechaniki bryłowej i analizy inżynierskiej, jest taka, że XFEM ma bardzo wąskie i wyspecjalizowane zastosowanie w analizie propagacji pęknięć i uszkodzeń, w przypadku złożonych geometrii 3D, gdy ścieżki pęknięcia nie można z góry oszacować .

Niemniej jednak podkreślam, że mechanika pękania jest bardzo ważną dziedziną w inżynierii: np. Dzisiejsze linie lotnicze są bezpieczne również dlatego, że możliwe jest numeryczne przewidywanie uszkodzeń i propagacji pęknięć między okresami konserwacji. XFEM lub podobne nowe techniki mają się wkrótce stać ważnymi narzędziami.

— Stefano M.
źródło

znaczenie XFEM w mechanice pękania jest pokazane przez was wszystkich, ale czy istnieją jeszcze inne dziedziny, które wymagają użycia XFEM zamiast klasycznego MES? Na przykład we wzroście biofilmu interfejs biofilmu w podłożu zmienia się w czasie. Granica jest zmienna (granica ruchoma). Jeśli użyjemy klasycznego MES, siatka musi być generowana na każdym kroku, prawda? To naprawdę nie jest dobre, szczególnie w przypadku 3D. A jeśli weźmiemy pod uwagę 2 fazy płynu o różnych gradientach stężenia, wydaje się, że konieczne jest również użycie XFEM?

— Anh-Thi DINH

Istnieje wiele problemów, w których masz wolne powierzchnie lub ruchome granice, które są trudne przy czystym podejściu Lagrangian (z powodu częstego remesowania). XFEM dotyczy bardziej modelowania nieciągłości w domenach. Wiem o procedurach łączenia, które wykorzystują nieciągłość w celu przedstawienia ruchomej granicy ... ale nie jestem ekspertem w tych dziedzinach.

— Stefano M

innym mniej pokrewnym pytaniem jest to, jaka jest różnica między FEM z bąbelkami P1 a XFEM? Czy możesz mi pokazać?

— Anh-Thi DINH

Sugerowałbym otwarcie nowego pytania. W skrócie P1-bubble / P1 jest szczególnym elementem skończonym (dla rozwiązania równania Stokesa), podczas gdy XFEM jest bardziej ogólną koncepcją, obejmującą wykorzystanie funkcji wzbogacania do modelowania nieciągłości, wykorzystując podejście Partition of Unity.

— Stefano M

FEM jest podzbiorem XFEM. XFEM to metodologia wzbogacania przestrzeni elementów skończonych w celu obsługi problemów z nieciągłościami (takich jak pękanie). W przypadku klasycznego MES osiągnięcie podobnej dokładności zazwyczaj wymaga skomplikowanego siatki konformalnej i udoskonalenia adaptacyjnego, podczas gdy XFEM robi to za pomocą pojedynczej siatki, przenosząc tę złożoność geometryczną na elementy (XFEM jest bardzo skomplikowany do wdrożenia, szczególnie w 3D). Tymczasem XFEM prowadzi do wyjątkowo źle uwarunkowanych macierzy, które wymagają albo bezpośrednich solverów, albo bardzo wyspecjalizowanych metod wielosieciowych ( np. Gerstenberger i Tuminaro (2012) ).

— Jed Brown
źródło

Czy wysiłek przeniesienia złożoności z siatki do funkcji kształtu naprawdę się ostatecznie opłaca? Oba wydają się skomplikowane w ten sam sposób.

— shuhalo

Jak to często bywa w informatyce, zależy to od tego, kogo zapytasz i jaki problem rozwiązujesz. Wielu praktykujących XFEM korzysta z surowej kwadratury zamiast tej dostosowanej do nieciągłości wewnątrz elementu.

— Jed Brown