Co w kontroli PID reprezentują bieguny i zera?

Ilekroć czytam tekst o kontroli (np. Kontrola PID), często wspomina o „biegunach” i „zerach”. Co przez to rozumieją? Jaki stan fizyczny opisuje biegun lub zero?

Funkcja która opisuje, w jaki sposób dane wejściowe do systemu są odwzorowywane na dane wyjściowe systemu, nazywane są funkcją przesyłania.$T(\mathbf{x})$

W przypadku układów liniowych funkcję przenoszenia można zapisać jako gdzie N i D są wielomianami, tj. T ( x ) = N ( x$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Zera systemu są wartościami spełniającymi wyrażenie N ( x ) = 0 . Innymi słowy, są one pierwiastkami wielomianu N ( x ) . Jak N ( x ) . zbliża się do zera, licznik funkcji przenoszenia (a zatem sama funkcja przenoszenia) zbliża się do wartości 0.$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

Podobnie biegunami systemu są wartości które spełniają instrukcję D ( x ) = 0 . Innymi słowy, są one pierwiastkami wielomianu D ( x ) . Kiedy D ( x ) zbliża się do bieguna, mianownik funkcji przenoszenia zbliża się do zera, a wartość funkcji przenoszenia zbliża się do nieskończoności.$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Bieguny i zera pozwalają nam zrozumieć, jak system zareaguje na różne dane wejściowe. Zera są interesujące ze względu na ich zdolność do blokowania częstotliwości, podczas gdy bieguny dostarczają nam informacji o stabilności systemu. Zasadniczo wykreślamy bieguny i zera w płaszczyźnie zespolonej i mówimy, że system jest ograniczony wejściowo ograniczonym wyjściem (BIBO) stabilny, jeśli bieguny znajdują się w lewej połowie płaszczyzny zespolonej (LHP - lewa połowa płaszczyzny).

Wreszcie, kiedy projektujemy kontroler, w rzeczywistości manipulujemy jego biegunami i zerami, aby osiągnąć określone parametry projektowe.

Te wielomianowe funkcje przenoszenia występują, gdy wykonujesz transformatę Laplace'a na pewnym liniowym równaniu różniczkowym, które albo faktycznie opisuje twojego robota, albo jest wynikiem linearyzacji dynamiki robota w pewnym pożądanym stanie. Pomyśl o tym jak o „ekspansji Taylora” wokół tego stanu.

Przekształcenie Laplace'a jest uogólnieniem przekształcenia Fouriera na funkcje, które nie są okresowe. W elektrotechnice transformata Laplace'a jest interpretowana jako reprezentacja systemu w dziedzinie częstotliwości , tzn. Opisuje, w jaki sposób system transmituje dowolne częstotliwości z sygnału wejściowego. Zero następnie opisują częstotliwości, które nie są przesyłane. Jak już wspomniano w DaemonMaker, bieguny są ważne, biorąc pod uwagę stabilność systemu: funkcja przenoszenia systemu przechodzi w nieskończoność w pobliżu biegunów.

Co oznaczają w kontekście kontroli:

Polacy : Mówią ci, czy system (który może być również nowym systemem, w którym wstawiłeś pętlę sprzężenia zwrotnego z prawem kontroli) jest stabilny, czy nie. Zwykle chcesz, aby system był stabilny. Zatem chcesz, aby wszystkie bieguny systemu znajdowały się w lewej połowie płaszczyzny (tzn. Rzeczywiste części biegunów muszą być mniejsze od zera). Bieguny są wartościami własnymi macierzy systemowej . To, jak daleko znajdują się na lewej półpłaszczyźnie, mówi o tym, jak szybko system zbliża się do stanu spoczynku. Im dalej znajdują się od osi urojonej, tym szybciej system się zbiega.

Zera : Mogą być wygodne, jeśli masz słup na prawej półpłaszczyźnie lub nadal na lewej półpłaszczyźnie, ale zbyt blisko osi wyobrażonej: Dzięki sprytnej modyfikacji systemu możesz przesunąć zera na niechciane bieguny, aby unicestwić im .

Naprawdę nie mogę mówić o zerach funkcji przesyłania, ale bieguny funkcji przenoszenia zdecydowanie mają sensowną interpretację.

Aby zrozumieć tę interpretację, musisz pamiętać, że system, który chcemy kontrolować, jest tak naprawdę jedną z dwóch rzeczy: albo różnicą równania lub różnicowe równanie. W obu przypadkach powszechnym podejściem do rozwiązywania tych równań jest określenie ich wartości własnych. Co ważniejsze, gdy układ jest liniowy, wartości własne równania różniczkowego / różnicy odpowiadają dokładnie biegunom funkcji przenoszenia. Tak więc, uzyskując bieguny, naprawdę uzyskujesz wartości własne pierwotnego równania. To właśnie wartości własne pierwotnego równania (moim zdaniem) naprawdę determinują stabilność układu; to po prostu niesamowity zbieg okoliczności, że bieguny układu liniowego są dokładnie wartościami własnymi pierwotnego równania.

Aby to zilustrować, rozważ dwa przypadki osobno:

Przypadek 1: Równanie różniczkowe

$x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$. W przeciwnym razie jeśli$Re(\lambda)\ge 0$, ilość $e^{\lambda t}$ najprawdopodobniej wybuchłby do nieskończoności wielkości lub po prostu nie zbliżyłby się do zera.

Przypadek 2: Równanie różnicy

Gdy wszystkie wartości własne równania różnicowego są mniejsze niż 1, wówczas wszystkie trajektorie (tj. Wszystkie rozwiązania) zbliżają się do rozwiązania równowagi na początku (x = 0). Jest tak, ponieważ roztwory różnicy równania są zazwyczaj w formie wykładniczej sekwencji podobnego$x_t=C\lambda^t$, gdzie $\lambda$jest wartością własną. Zatem sekwencja $x_t\rightarrow 0$ tak jak $t\rightarrow\infty$ tylko, jeżeli $|\lambda|<1$. W przeciwnym razie jeśli$|\lambda|\ge 1$, ilość $\lambda^t$ wybuchłaby do nieskończoności w skali lub po prostu nie zbiegła się do zera.

W obu przypadkach bieguny funkcji systemu i wartości własne (jednorodnego) równania różniczkowego / różnicy są dokładnie takie same! Moim zdaniem bardziej sensowne jest dla mnie interpretowanie biegunów jako wartości własnych, ponieważ wartości własne wyjaśniają warunek stabilności w bardziej naturalny sposób.