Symuluj ewolucję hamiltonowską


11

Próbuję wymyślić, jak symulować ewolucję kubitów pod wpływem interakcji Hamiltonianów z terminami zapisanymi jako iloczyn tensorowy macierzy Pauliego w komputerze kwantowym. Znalazłem następującą sztuczkę w książce Nielsena i Chuanga, która jest wyjaśniona w tym poście dla Hamiltonianu formy

H=Z1Z2)...Zn
.

Ale nie wyjaśniono szczegółowo, jak działałaby symulacja hamiltonianu z terminami obejmującymi macierze Pauliego X lub YRozumiem, że możesz przekształcić te Pauliego w Z, biorąc pod uwagę, że H.ZH.=X gdzie H. jest bramą Hadamarda, a także S.H.ZH.S.=Y gdzie S. jest bramką fazy ja . Jak dokładnie powinienem to wykorzystać do implementacji na przykład

H.=XY

Co jeśli teraz Hamiltonian zawiera sumę terminów z macierzami Pauliego? Na przykład

H.=X1Y2)+Z2)Y3)

Odpowiedzi:


3

Załóżmy, że masz hamiltonian w postaci

H.=σ1σ2)σ2)σn
Istnieje prosta konstrukcja obwodu, która pozwala zaimplementować ewolucję czasu mi-jaH.t . Sztuką jest w zasadzie do rozkładu stanu, że jesteś ewoluuje w składniki, które są w ±1 eigenspaces z H. . Następnie zastosujesz fazę mi-jat do przestrzeni własnej +1 , a fazę mi-jatdo -1 własnej. Poniższy obwód wykonuje to zadanie (i na końcu oblicza rozkład). wprowadź opis zdjęcia tutaj Zakładam, że element bramki fazowej w środku stosuje jednostkę
(eit00eit).


Ogólnie rzecz biorąc, jeśli chcesz ewoluować trochę hamiltonianów H=H1+H2 gdzie H1 i H2 mają poprzednią formę, to zdecydowanie najłatwiej jest rozłożyć ewolucję na

eiHt(eiH1t/MeiH2t/M)M
dla niektórych dużych M (chociaż istnieją algorytmy o znacznie lepszym zachowaniu skalowania) i dla każdego z tych małych krokóweiH1t/M można zaimplementować w poprzednim obwodzie.


To powiedziawszy, czasami są mądrzejsze rzeczy, które możesz zrobić. Twój dodatkowy przykład,

H=XYI+ZIY
jest jednym z takich przypadków. Zacznę od zastosowania obrotu jednostkowego U=Z+Y2 do qubitach 2 i 3. Jest to równoważne z bramą Hadamarda, ale przekształcaYwZzamiastX. Teraz zatrzymaj się na chwilę i pomyśl. Jeśli kubity 2 i 3 są w 00, to stosujemy(X+Z)do kubitu 1. Dla 01 to(XZ), dla 10 to(ZX), a dla 11 to(X+Z). Następnie zastosujmy kontrolowane-nie z qubit 2 do qubit 3. To tylko nieznacznie przepuszcza podstawowe elementy. Mówi teraz, że musimy zastosować hamiltonian
(1)x2(X+(1)x3Z)
do stanu kubit 1, jeśli kubity 2 i 3 są w stanachx2x3 . Następnie pamiętaj, żeX+Z=2H(Hadamard, nie hamiltonian), i żeX2HX=XZ. To daje nam łatwy sposób na konwersję między dwoma bitami Hamiltona. Zamienimy te dwaXy na kontrolowane-nie-kontrolowane przez qubit 3. Podobnie, możemy użyć tożsamości obwodu, w wprowadź opis zdjęcia tutaj której tym razem zastąpimyX -tych kontrolowanymi notami sterowanymi przez qubit 2.

Ogólnie rzecz biorąc, uważam, że symulacja wygląda na wprowadź opis zdjęcia tutaj skomplikowaną, ale nie ma podziału na małe etapy czasowe, które kumulują błędy w miarę postępów. Nie będzie to często obowiązywać, ale warto zdawać sobie sprawę z tego rodzaju możliwości.


Co oznacza pierwiastek kwadratowy z kropką - bramka?
Enrique Segura

@EnriqueSegura dokładnie taki sam jak ten, o który właśnie zapytałeś: bramka fazowa z oznaczonym kątem obrotu.
DaftWullie

1

Sztuczka polega na tym, że jeśli mamy hamiltonian H z diagonalizacją H=UDU , to eitH=UeitDU .

W szczególności, jeśli masz Hamiltona, który jest produktem Pauliego H=σ1σn (gdzie dla uproszczenia zakładamy, σiI dla wszystkich i ), a następnie możemy diagonalise H jak

H=(σ1σn)ZZ(σ1σn)

W rezultacie:

eitH=(σ1σn)eitZZ(σ1σn)

Od Macierze Pauliego są łatwe do wykonania na komputerze kwantowym, a już wiemy, jak to zrobić eitZZ , jesteśmy wtedy zrobić.

Jeśli Hamiltonian jest sumą produktów Pauli, to nie ma ogólnego prostego rozwiązania, ale można użyć formuły produktu Lie skróconej do pewnej dużej liczby terminów, aby zredukować ją do powyższego problemu.


0

Ogólnie rzecz biorąc, ten problem nie jest bardzo prosty, ostatecznie sprowadza się do przyjęcia hamiltonianu, jak napisałeś, i jakoś utworzenia odpowiedniej sekwencji bramek, które implementują mi-ΔtH.. Z mojego zrozumienia wynika to zwykle przy użyciu przybliżenia Trottera-Suzuki i rozkładu bramek.

Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.