Uzyskiwanie bramki z bram elementarnych

Obecnie czytam „Obliczenia kwantowe i informacje kwantowe” Nielsena i Chuanga. W części dotyczącej symulacji kwantowej podają przykładowy przykład (sekcja 4.7.3), którego nie do końca rozumiem:

Załóżmy, że mamy Hamiltonian który działa w systemie qubit. Mimo że jest to interakcja obejmująca cały system, w rzeczywistości można go skutecznie symulować. Chcemy prostego obwodu kwantowego, który implementuje , dla dowolnych wartości . Obwód robiąc to dokładnie, dla , pokazano na rysunku 4.19. Głównym spostrzeżeniem jest, że chociaż Hamiltona obejmuje wszystkie qubitów w systemie, czy to w klasyczny sposób: przesunięcie fazy zastosowanej w systemie jest jeżeli parzystości o

$$H = Z_1 ⊗ Z_2 ⊗ \cdots ⊗ Z_n,\tag{4.113}$$ $n$$e^{-iH\Delta t}$$\Delta t$$n = 3$$e^{-i\Delta t}$$n$kubity w podstawie obliczeniowej są parzyste; w przeciwnym razie przesunięcie fazowe powinno wynosić $e^{i\Delta t}$ . Tak więc prosta symulacja $H$ jest możliwa poprzez klasyczne obliczenie parzystości (zapisanie wyniku w kubicie ancilla), a następnie zastosowanie odpowiedniego przesunięcia fazowego uwarunkowanego parzystością, a następnie odliczenie parzystości (w celu usunięcia ancilla).

Co więcej, rozszerzenie tej samej procedury pozwala nam symulować bardziej skomplikowane rozszerzone hamiltoniany. W szczególności możemy skutecznie symulować dowolny Hamiltonian o postaci

$$H = \bigotimes_{k=1}^n\sigma_{c\left(k\right)}^k,$$ gdzie $\sigma_{c(k)}^k$ jest Macierz Pauliego (lub tożsamość) działająca na $k$ tym kubicie, gdzie $c(k) \in \{0, 1, 2, 3\}$ określa jedną z $\{I, X, Y, Z\}$ . Kubity, na których przeprowadzana jest operacja tożsamości, można pominąć, a terminy $X$ lub $Y$ można przekształcić pojedynczymi bramkami kubitowymi w operacje $Z$Pozostaje nam Hamiltonian w postaci (4.113), który jest symulowany jak opisano powyżej.

Jak możemy uzyskać bramkę z bram elementarnych (na przykład z bram Toffoli)?$e^{-i\Delta t Z}$

Jednym ze sposobów wykonania rotacji Z o dowolne kąty jest przybliżenie ich sekwencją bramek Hadamarda i T. Jeśli potrzebujesz przybliżenia, aby uzyskać maksymalny błąd , znane są konstrukcje, które robią to przy użyciu z grubsza bramek T . Patrz „Optymalne przybliżenie Clifforda + T bez rotacji z-rotacji” autorstwa Ross i in .$\epsilon$$3 \lg \frac{1}{\epsilon}$

Najlepiej opublikowany sposób aproksymacji dowolnych obrotów Z, obwodów powtarzania do sukcesu , przyjmuje nieco bardziej skomplikowane podejście, ale osiąga średnio około bramek T.$9 + 1.2 \lg \frac{1}{\epsilon}$