Dowód nierówności informacyjnej Holevo

Załóżmy, że mam klasyczny kanał klasyczno-kwantowy $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , gdzie są zbiorami skończonymi, a jest zbiorem macierzy gęstości w skończonych wymiarach, złożonej przestrzeni Hilberta . $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Załóżmy, że to rozkład równomierny na a to rozkład równomierny na . Następnie zdefiniuj dla dystrybucji na i na $p_x$ $\mathcal{X}$ $p_y$ $\mathcal{Y}$ $p_1$ $\mathcal{X}$ $p_2$ $\mathcal{Y}$ informacje Holevo

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

gdzie $H$ jest entropią von Neumanna.

Chciałbym pokazać, dla

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$ że,

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Jak dotąd nie jestem przekonany, czy stwierdzenie to jest prawdziwe. Nie poczyniłem dużych postępów w udowodnieniu tego, ale wydaje się, że jakaś nierówność trójkąta może zweryfikować twierdzenie.

Dziękujemy za wszelkie sugestie dotyczące tego, czy wypowiedź powinna się odbyć, oraz wskazówki, jak to udowodnić.

quantum-information entropy

— Stephen Diadamo
źródło

Jak sugeruje odpowiedź, zamierzałem użyć argmax, a nie supremum.

— Stephen Diadamo

Wydaje się, że stwierdzenie to nie jest ogólnie prawdziwe. Przypuszczać $X = Y = \{0,1\}$ , $\mathcal{H}$ jest przestrzenią Hilberta odpowiadającą jednemu kubitowi, oraz $W$ jest zdefiniowany jako

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$ If

p_{y}

$p_y$ is the uniform distribution, the optimal choice for

p_{1}

$p_1$ is

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$ and

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$ , which gives

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$ , which is the maximum possible value. (I assume you mean to define

p_{1}

$p_1$ and

p_{2}

$p_2$ as the argmax of those expressions, not the supremum.) Likewise, if

p_{x}

$p_x$ is uniform,

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$ and

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$ is optimal, and the value is the same. However,

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$ , so the inequality does not hold.

— John Watrous
źródło