Odpowiedzi:
Czterozmienna reprezentacja płaszczyzny to współczynniki równości
ax + by + cz = d
Można to postrzegać jako N = ( a , b , c ) będącą wektorem normalnym id stanowi odległość od początku współrzędnych (w jednostkach długości N ), i możemy również zapisać to równanie jako N · P = d , gdzie P = ( x , y , z ).
Ta reprezentacja nie pozwala zdefiniować konkretnego „początku płaszczyzny” - płaszczyzny matematyczne nie mają początków. (Jednak zdarza się, że skoro N · P = d możemy ustawić P = ( d | N | -2 ) N i uzyskać określony punkt na płaszczyźnie: punkt najbliższy początkowi układu współrzędnych .)
Jeśli zmienisz = na <lub>, opisujesz „półprzestrzeń”, której można użyć do rzeczy takich jak nieskończona podłoga w silniku fizyki; przeciwną półprzestrzeń uzyskuje się, negując zarówno N, jak i d .
„Typowo” to dość subiektywne słowo, z mojego doświadczenia wynika, że istnieje inny sposób opisania płaszczyzny w przestrzeni 3D, który jest bardziej powszechny ze względu na właściwości, które wykazują takie konstrukcje.
Jeśli chodzi o twoje pytanie, możesz użyć 4 rzeczywistych wartości do określenia płaszczyzny w przestrzeni 3D. Jak wskazałeś, a, b, c mogą być składnikami wektora prostopadłego do pożądanej płaszczyzny. Jeśli N = (a, b, c) jest naszym prostopadłym wektorem, możesz znaleźć punkt na swojej płaszczyźnie, który jest P = d N dla niektórych d rzeczywistych i dodatnich. Tutaj mówisz, że d jest odległością od źródła w sensie N ; jeśli N jest wektorem jednostkowym, to d jest odległością między punktem początkowym a twoją płaszczyzną w taki sposób, jak powszechnie rozumie się termin „odległość” .
Zaskakująco możesz zdefiniować dowolną możliwą płaszczyznę zorientowaną , ponieważ możesz użyć ujemnych wartości d ; w ten sposób tracisz bezpośrednie znaczenie d jako odległości, dopóki nie umieścisz go w wartości bezwzględnej ( | d | ).
O ile mi wiadomo, płaszczyzna jest zwykle definiowana przez pozycję, która mówi nam, gdzie jest początek, i normalną wskazującą w górę od płaszczyzny, która mówi nam, jaką mamy orientację. Powszechną praktyką jest stosowanie do tego dwóch wektorów.
W przypadku czterech zmiennych nie masz wystarczającej liczby zmiennych, aby zdefiniować płaszczyznę, która nie ma początku w (0,0,0) lub zbyt mało zmiennych, aby uwzględnić wszystkie obroty.
Minimum, jakiego potrzebowalibyśmy dla płaszczyzny w przestrzeni euklidesowej 3D z punktem początkowym, który nie jest w (0,0,0) i może być zorientowany w dowolny sposób, wynosi 5. Wyobraź sobie sferę jednostkową, potrzebujemy 3 zmiennych, aby zdefiniować miejsce pochodzenia sfery jednostkowej jest (X, Y, Z). Następnie potrzebujemy dwóch zmiennych, aby określić, gdzie znajduje się „góra” płaszczyzny. Możemy to zrobić za pomocą opisanego wektora, przechodząc od początku kuli do jej powierzchni, biorąc pod uwagę szerokość i długość geograficzną.
Jak zrekonstruowałbyś płaszczyznę z tylko czterema zmiennymi, których nie znam. Może pracujesz w wąskiej dziedzinie (płaszczyzna jest zawsze w (0,0,0), a cztery zmienne są czwartorzędowe?) Czy zmienne nie są skalarami? W jakim kontekście używasz tego a, b, c, d?