Pochodna powierzchni w trybie przesuwnym za pomocą metody numerycznej

W artykule Projekt sterownika wykorzystujący mapę bifurkacyjną do odzyskiwania spinów statku powietrznego pochodną powierzchni ślizgowej uzyskuje się metodą numeryczną.

Układ w stałej przestrzeni jest zdefiniowany przez następujące równania:

\dot{\underline{x}} = A (\underline{x}, t) + B (\underline{x}, t) \underline{U}, \underline{x} = [V, α, β, p, q, r, ϕ, θ], s = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (ϕ - ϕ_{d}) + λ_{1} (ϕ - ϕ_{d}) \\ \frac{d}{d t} (α - α_{d}) + λ_{2} (α - α_{d}) \\ \frac{d}{d t} (β - β_{d}) + λ_{3} (β - β_{d}) \end{matrix}]

$\dot{\underline{x}}=A(\underline{x},t)+B(\underline{x},t)\underline{U}, \\ \underline{x}=[V,\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta], \\ s=\left[\begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(\phi-\phi_d)+\lambda_1(\phi-\phi_d) \\ \dfrac{d}{dt}(\alpha-\alpha_d)+\lambda_2(\alpha-\alpha_d) \\ \dfrac{d}{dt}(\beta-\beta_d)+\lambda_3(\beta-\beta_d) \\ \end{array}\right]$

gdzie , i są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\lambda_3$

Artykuł stanowi:

Prawo kontroli od osiągnięcia prawa w równaniu. (6) można wyprowadzić jako:
$\begin{matrix} (8) & \dot{s} = \frac{\partial s}{\partial x} \dot{x} = \frac{\partial s}{\partial x} (A + B u) = - Q s g n (s) + K f (s) . \end{matrix}$ $\dot{s}=\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}\dot{x}=\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}(A+Bu)=-Qsgn(s)+Kf(s).\tag{8}$
Rozwiązując powyższe równanie (8) dla u (3 x 1), otrzymujemy wyrażenia dla u jako:

$\begin{matrix} (9) & u = - {(\frac{\partial s}{\partial x} B)}^{- 1} [\frac{\partial s}{\partial x} A + Q s g n (S) + K f (s)] . \end{matrix}$ $u=-\left(\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}B\right)^{-1}\left[\dfrac{\partial{s}}{\partial{x}}A+Qsgn(S)+Kf(s)\right].\tag{9}$
Matryca jest obliczany numerycznie. Obliczone dane wejściowe sterowania podlegają ograniczeniom położenia i prędkości ugięcia powierzchni kontrolnej, jak podano w tabeli 1. $\frac{\partial{s}}{\partial{x}}$

Która metoda numeryczna służy do obliczania w? A także jak będzie dokładna postać matrycy $\dfrac{\partial s}{\partial x}$ $u$ (element $\dfrac{\partial s}{\partial x}$ w kolumnach i rawach)? $\dfrac{\partial s}{\partial x}$

control-engineering aerospace-engineering numerical-methods

— lahidj
źródło

Trudno powiedzieć z całą pewnością, jakiej metody by się na pewno użyli, ale rozsądnie jest założyć, że określiliby tę metodę, gdyby była czymś wyjątkowym.

Najłatwiej to zrobić za pomocą schematu różnic skończonych . W ten sposób przybliżasz pochodną funkcji, obliczając ją w dwóch lokalizacjach, które są małą, ale znaną odległością w twojej przestrzeni stanów. Pochodna (nachylenie) jest wówczas „wzrostem” (różnica między dwiema wartościami funkcji) podzielonym przez „bieg” (odległość w przestrzeni stanów)

$s$ $x$ $s$ $x$

\frac{\partial s}{\partial α} \approx \frac{s (V, α + Δ α, β, p, q, r, ϕ, θ) - s (V, α - Δ α, β, p, q, r, ϕ, θ)}{2 Δ α}

$\frac{\partial s}{\partial \alpha} \approx \frac{s(V,\alpha +\Delta\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta) - s(V,\alpha -\Delta\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta)}{2\Delta\alpha}$

$\Delta\alpha$ $s$ $x = (V,\alpha,\beta,p,q,r,\phi,\theta)$ ${\Delta\alpha}^2$

— Dan
źródło

Drogi Dan, dziękuję za odpowiedź. Przydatne. Czy mógłbyś wyjaśnić więcej na temat ds / dx? Wyobraźcie sobie, że istnieje 8 stanów, a także 3 sygnały wyjściowe do siłowników powierzchniowych. Matryca dds / dx powinna być matrycą 3 * 8. Mam rację? (Jaka byłaby dokładna forma ds / dx związana ze stanami kolumny)? A także w macierzy S mamy na przykład [d / dt (alfa-alfa) + lambda * (alfa-alfa)]. Czy powinniśmy zaburzać alfa w obu terminach (d / dt (alfa) i lambda * (alfa )?

— lahidj

d s / d x

$ds/dx$

B

$B$

u

$u$

α

$\alpha$

Drogi Dan, dziękuję za pomoc. Coś, co jest dla mnie niejasne, to elementy ds / dx. Jeśli pokazujemy element ds / dx jako [1 2 3 ... 8; 11 22 33 ... 88; 111 222 333 .. .888] ، jaki mógłby być na przykład 3 33 333 według twojej odpowiedzi? Czy można dodać formułę ds / dx (dla każdego elementu) do swojej odpowiedzi? 1? 11? 111? ... 888?

— lahidj

Drogi Dan, jak wiesz (ds / dx) * B bądź pojedyncza, odwrotność to brak, dlatego nalegam na strukturę ds / dx? Dzięki bardzo.

— lahidj