Reakcja systemu na funkcję krokową (funkcja Heaviside)

Chciałbym obliczyć odpowiedź na funkcję skokową układu elektrycznego / termicznego. Ogólnie mogę „łatwo” obliczyć funkcję przenoszenia : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Ponieważ transformata Fouriera ( ) funkcji Heaviside jest (obliczona z WA): $\mathcal{F}$

fa (θ (t)) = {V.}_{ja n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2)}} δ (ω) + \frac{ja}{\sqrt{2) π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Stąd, zwracając uwagę na odwrotną transformatę Fouriera: $\mathcal{IF}$

{V.}_{o u t} (t) = ja fa {(\sqrt{\frac{π}{2)}} δ (ω) + \frac{ja}{\sqrt{2) π} ω}) H. (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Aby sprawdzić moją matematykę, próbowałem obliczyć odpowiedź dla prostego systemu RC:

Powinienem uzyskać dobrze znany ładunek kondensatora. Funkcja przesyłania:

H. (ω) = \frac{1}{1 + ja ω R do}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

Obliczając odwrotną transformatę Fouriera ( ) z WA ( ) otrzymuję: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Byłoby to poprawne, gdybyśmy cofali się w czasie:. Pytanie brzmi: co robię źle?

Zrobiłem to samo, używając Transformacji Laplace'a i wszystko działa dobrze ... Ale nie rozumiem dlaczego.

PS Nie chcę innej metody, chcę tylko zrozumieć, co jest złego w moim podejściu.

PS powodem, dla którego używam WA jest to, że dla mojego bardziej skomplikowanego systemu muszę obliczyć transformaty Fouriera za pomocą WA.

— Worldsheep
źródło

Nie jest to odpowiedź, której szukasz, ale ten artykuł o tym, jak wykonać dyskretną odwrotną transformatę Laplace'a dla praktycznie dowolnej funkcji przenoszenia może być dla Ciebie interesujący.

— user5108_Dan

Dziękuję za interesujący link! Wciąż próbuję zrozumieć, dlaczego potrzebne są transformaty Laplace'a. Albo lepiej, dlaczego transformaty Fouriera nie działają ...

— Worldsheep

Czy znasz Laplace Transforms? Transformacje Laplace'a i Fouriera są dość podobne, ale nie jestem wystarczająco dobrym matematykiem, aby opisać dokładne różnice. EE zwykle działają w domenie s (transformata Laplace'a), która byłaby taka sama jak równanie H (w), jeśli zastąpisz jw przez s. Prawdopodobnie uzyskasz lepszą odpowiedź, jeśli opublikujesz to pytanie na stronie dsp.stackexchange.com. Ci faceci są do tego dostosowani.

— user5108_Dan

Tak, zauważyłem, że EE zawsze działa w takich przypadkach z Laplace, a kiedy próbowałem, działało dobrze! Ale intuicyjnie użyłbym Fouriera. Postępuję zgodnie z twoją radą i odwiedzę drugą stronę!

— Worldsheep

Odpowiedź na to pytanie można znaleźć tutaj: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

Głównym powodem jest prawdopodobnie to, że Wolfram Alpha zastosował odwrotną transformatę Fouriera jako drugą transformację Fouriera. W rzeczywistości robi to „odwraca czas” - co można wykazać matematycznie :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} {fa}^{0} & = ja re, {fa}^{1} = fa, \\ {fa}^{2)} & = P., {fa}^{4} = ja re, \\ {fa}^{3)} & = {fa}^{- 1} = P. \circ fa = fa \circ P. \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

Zastosowanie transformacji Fouriera 3 razy w systemie zapewni wersję w normalnym czasie. Ponieważ fale są zgodne czasowo, zwykle nie ma to znaczenia.

— znak
źródło